2025.10.13

正睿 2025 20 连测

赛时花了多久忘了。

2025.10.29 第二次写。

C

赛后看题解 \(15min\)，写 \(45min\)。

给定 \(N\) 个字符串和 \(k\)，\(s, t\) 相似当且仅当 \(LCP(s, t) + LCS(s, t) + k \ge \max(|s|,|t|), ||s| - |t|| \le k\)，求有多少对字符串相似。

考虑枚举 \(LCS(s, t)\)（记作 \(suf\)），把所有以 \(suf\) 为后缀的字符串拿出来，设为 \(s1, s2 \dots s_m\) 。

为了方便，将 \(s_i\) 按长度从小到大排序。枚举 \(s_i\)，问题转化为 \(1 \sim i - 1\) 中有多少个 \(s_j\) 与 \(s_i\) 相似。不难发现两个条件变成了 \(LCP(s_i, s_j) \ge p, |s_j| \ge q\) 的形式且 \(p, q\) 随 \(|s_i|\) 增大而增大。

后一个条件比较简单，显然 \(j\) 一定是一段区间且左端点递增，搞个双指针即可。对于第一个条件，建出字典树，就是一个简单的单点加，区间求和问题（\(dfs\) 序），使用树状数组解决即可。

还有一些细节，比如说为了保证 \(LCS(s_i, s_j) = suf\)，需要保证两个字符串的倒数第 \(|suf| + 1\) 个字符不同，开 \(26\) 个树状数组即可。

时间复杂度：\(O(\sum |S| \log \sum |S|)\)。

赛场上看到 \(LCP\) 就去想后缀数组了，但是其实后缀数组算 \(LCP\) 还要并查集，也没有降低难度（不如直接枚举），合并时难以做到 \(O(\min sz)\) 的复杂度。

\(LCP \ge x\) 使用 trie。求 \(LCP\) 的 max 考虑后缀数组。

第二次写一共 \(55min\)（包括看题。）

D

赛后看题解 \(10min\)，写 \(60min\)。

给定两个大小为 \(n\) 的数组 \(a, b\) （\(b\) 单调不降），选 \(k\) 个下标 \(x_1 < x_2 < \dots < x_k\)，求 \(\sum\limits a_{x_i} + b_{x_k} - b_{x_1}\) 的最大值。

有个暴力做法：枚举 \(x_1, x_k\) 那么就是求 \(a_{x_1 + 1} \sim a_{x_k - 1}\) 中最大的 \(k - 2\) 个之和，记作 \(f(x_1, x_k)\)。

然后看上去没有头绪了，这时就可能需要盲猜一下是否有决策单调性。实际上是有的，只用证明 \(f\) 满足四边形不等式即可（剩下的一堆抵消了）。

所以问题变成了如何快速求 \(f(l, r)\)。可以使用类似莫队的方式移，使得只有删除和撤销操作，再使用链表维护。但是这很麻烦，常数不小。不如直接上主席树，常数也不大。

时间复杂度：\(O(n \log n) / O(n \log^2 n)\)

赛场上想到了暴力做法，但是没想到决策单调性，应该打打表看看的。

卡常：将 \(a\) 离散化，\(x_k\) 一定是 \(a_i + b_i\) 的前缀最大值。

第二次写总共 \(50min\)。