旋转公式

向量 \((x, y)\) 绕原点逆时针旋转 \(\alpha\) 得到什么？

以下介绍两种方法，本人认为第 \(2\) 种更简单。

方法 1

设 \((x, y)\) 长度为 \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\)，与 \(x\) 轴正方向夹角为 \(\theta\)。则有：

\[\begin{aligned} x = r\cos \theta \\ y = r\sin \theta \end{aligned} \]

将向量逆时针旋转 \(\alpha\) 后，新向量与 \(x\) 轴正方向变为 \(\alpha + \theta\)，长度仍为 \(r\)。则新向量 \((x', y')\) 满足（和角公式）：

\[\begin{aligned} x' &= r\cos(\theta + \alpha) = r(\cos \theta \cos \alpha - \sin \theta \sin \alpha) \\ y' &= r\sin(\theta + \alpha) = r(\sin \theta \cos\alpha + \sin \alpha cos \theta) \end{aligned} \]

将 \(x, y\) 代入得到：

\[\boxed{\begin{aligned} x' &= x\cos \alpha - y\sin \alpha \\ y' &= y\cos \alpha + x \sin \alpha \end{aligned}} \]

好像就是辅助角公式。

方法 2（来源于 Deepseek）