长链剖分

创建时间：2026-06-28

长链剖分的概念

长链剖分（Long-chain Decomposition）也是树链剖分的一种，与重链剖分类似，每个节点有一个长儿子，表示该节点的子树深度最大的子节点。

长链的求法同重链剖分，用两次 dfs 即可。

void dfs1(int u, int f) {
	fa[u] = f;
	for (int v : e[u]) {
		if (v == f) {
			continue;
		}
		dfs1(v, u);
		if (len[v] > len[son[u]]) {
			son[u] = v;
		}
	}
	len[u] = len[son[u]] + 1;
}

void dfs2(int u, int t) {
	top[u] = t;
	if (son[u]) {
		dfs2(son[u], t);
	}
	for (int v : e[u]) {
		if (v != fa[u] && v != son[u]) {
			dfs2(v, v);
		}
	}
}

长链剖分的性质：

1. 从任意一个节点向上走，经过的长链的长度单调递增。
2. 从任意一个节点向上，至多经过 \(O(\sqrt n)\) 条不同长链。

长链剖分的常见应用

快速 \(k\) 级祖先

例题：P5903 【模板】树上 K 级祖先。

首先预处理倍增数组 \(fa_{i, j}\) 表示 \(i\) 的 \(2^j\) 级祖先。如果 \(i\) 是某条长链的链头，额外计算 \(dn_{i, j}\) 表示从 \(i\) 沿该长链向下走 \(j\) 步到达的节点，\(up_{i, j}\) 表示向上走 \(j\) 步到达的节点，其中 \(0 \le j < len_i\)。

当查询 \(x\) 的 \(k\) 级祖先时，找出 \(k\) 的二进制最高位 \(h\)，令 \(u = fa_{x, h}\)，\(t = top_u\)。当 \(k - 2^h \le dep_u - dep_t\) 时，从 \(t\) 沿长链向下走若干步到达 \(x\) 的 \(k\) 级祖先，通过 \(dn_t\) 快速查询；当 \(k - 2^h > dep_u - dep_t\) 时，从 \(t\) 向上走若干步到达 \(x\) 的 \(k\) 级祖先，通过 \(up_t\) 快速查询。根据长链剖分的性质 1，使用 \(dn\) 和 \(up\) 数组不会越界。

该做法的时间复杂度为 \(O(n \log n) \sim O(1)\)。

带权长链剖分

例题：P10641 BZOJ3252 攻略。

不难想到贪心的思路：维护每个子树内所有可能的路径，把 \(u\) 的点权分配给价值最大的路径。答案为前 \(k\) 大的路径的价值和。

注意到，“把 \(u\) 的点权分配给价值最大的路径”本质上是带点权的长链剖分，直接长链剖分并找到所有链头的 \(len\) 就做完了，使用 nth_element 可以做到 \(\Theta(n)\)。

一个常用结论：一棵树能用 \(k\) 条路径覆盖当且仅当其叶子节点数量 \(\le \lceil \frac k 2 \rceil\)。

扩展练习：CF526G Spiders Evil Plan。

长链剖分优化 DP

例题：CF1009F Dominant Indices。

不难看出 DP 的基本状态：\(f_{u, i}\) 表示以 \(u\) 为根的子树中，到 \(u\) 的距离为 \(i\) 的节点数量。枚举所有 \(i\) 转移，答案可以在转移过程中求出，时间复杂度 \(O(n^2)\)。

一种思路是重链剖分优化，每个节点继承重儿子的状态，再遍历轻儿子子树内所有节点，并计算贡献。这也就是我们常说的 DSU-on-Tree，它的复杂度为 \(O(n \log n)\)。

另外一种思路是线段树合并，同样可以做到 \(O(n \log n)\)，但也不够优秀。

考虑长链剖分。每个节点优先继承轻儿子的状态，对于其它的子节点，暴力枚举距离 \(i\)，将 \(f_{v, i}\) 合并至 \(f_{u, i+1}\)。注意到 \(i\) 的有效范围是 \([0, len_v)\)，且每条长链只会在链头合并一次，所以总复杂度等于所有长链的长度之和，即 \(\Theta(n)\)。此外，长链剖分优化 DP 通常采用指针的写法，空间复杂度也为 \(\Theta(n)\)。

对比三种做法，不难发现：长链剖分擅长优化子树内与深度、距离有关的 DP，一般这种问题用其他做法也能做，但长链剖分可以把时间复杂度、空间复杂度优化到极致。

扩展练习：P5904 [POI 2014] HOT-Hotels 加强版，P4292 [WC2010] 重建计划，HDU-6634 Salty Fish。