矩阵树定理

创建时间：2026-05-13

矩阵树定理（Matrix-tree Theorm），一个把生成树计数/求和转化为行列式求解的算法，属于近几年省选偏高频考点。

对无向图 \(G\)，设 \(G\) 的邻接矩阵为 \(A\)，定义：

\(G\) 的度数矩阵 \(D_{n \times n}\) 的矩阵，满足 \(D_{i, j} = \begin{cases} \deg(i) & i = j \\ 0 & i \neq j\end{cases}\)。
\(G\) 的拉普拉斯矩阵（Laplacian matrix）\(L = D - A\)。如果 \(G\) 是简单的，可以理解为当 \(i=j\) 时 \(L_{i, j}\) 表示 \(i\) 的度数；当 \(i \neq j\) 时 \(L_{i, j}\) 表示 \(i, j\) 是否相邻有边。
\(L_{\complement i}\) 表示 \(L\) 删去第 \(i\) 行和第 \(i\) 列得到的矩阵。

矩阵树定理：\(G\) 的生成树个数等于 \(\det(L_{\complement k})\)，\(k = 1, 2, \cdots, n\)。

证明先咕了。

当 \(G\) 是有向图时，也有类似的结论：

设入度矩阵 \(D^{in}_{i, i} = \deg_{in}(i)\)，\(L^{in} = D^{in} - A\)，则 \(G\) 的以 \(k\) 为根的外向生成树个数等于 \(\det(L^{in}_{\complement k})\)。
设出度矩阵 \(D^{out}_{i, i} = \deg_{out}(i)\)，\(L^{out} = D^{out} - A\)，则 \(G\) 的以 \(k\) 为根的内向生成树个数等于 \(\det(L^{out}_{\complement k})\)。

注意：拉普拉斯矩阵的对角线一定要减去自环 \(A_{i, i}\)。

矩阵树定理的应用

矩阵树定理可以解决生成树计数问题，同时也可以处理形如 \(\sum\limits_{T 是 G 的生成树} \prod\limits_{e \in T} w_e\) 的生成树权值求和问题，只需要把 \(D\) 和 \(A\) 的定义从边数修改为边值和。

Cayley 公式：由 \(n\) 个节点构成的无根树的结构有 \(n^{n-2}\) 种。

扩展 Cayley 公式1：有 \(n\) 个节点，其中 \(t\) 个特殊点，连成 \(t\) 棵树的森林使任意两个特殊点不在同一颗树中有 \(t n^{n-t-1}\) 种方案。

扩展 Cayley 公式2：有 \(n\) 个点，已经被分成大小为 \(a_1, a_2, \cdots, a_m\) 的连通块，连成一棵树的方案数为 \(n^{m-2} \prod\limits_{i=1}^m a_i\)。

写出拉普拉斯矩阵应用线性代数知识即可证明。

设有向欧拉图 \(G\)，设 \(t_k\) 为以 \(k\) 为根的内向生成树数量。

因为 \(G\) 中点 \(i\) 的出度入度相等，所以省略 \(\deg(i)\) 的上标。

引理：\(G\) 的以 \(k\) 为起点的非循环同构欧拉回路数量为 \(t_k \deg(k)! \prod\limits_{i \neq k} (\deg(i)-1)!\)。

证明思路：为除 \(k\) 外每个点选择最后一条出边，存在欧拉路径当且仅当这些边形成以 \(k\) 为根的内向生成树，其它边任意顺序。

BEST 定理：\(G\) 的循环同构欧拉路径数量为 \(t_k \prod (\deg(i)-1)!\)，\(k = 1, 2, \cdots, n\)。

证明思路：在引理的基础上去重即可。

注：无向图欧拉路径计数已被证明是 #P-complete 问题。

如果题目要求 \(\sum\limits_{T 是 G 的生成树} val(T)\)，而 \(val(T)\) 不是简单的乘法运算，这时不能直接使用矩阵树定理，可以考虑通过多项式转成乘法运算。

例如，当 \(val(T) = \sum\limits_{e \in T} w_e\) 时，可以令 \(w'_e = w_e x + 1\)，这样就有 \(val(T) = [x^1] \prod_{e \in T} w'_e\)，可以使用矩阵树定理计算。

posted @ 2026-06-02 17:08 xubaichuan 阅读(11) 评论(0) 收藏举报

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