数论反演
创建时间：2025-12-23
迪利克雷卷积
数论函数的定义
数论函数（也称算术函数），是一种定义域为自然数，值域为复数的函数。
当数论函数 \(f(n)\) 满足对所有互质的 \(n,m\)，都有 \(f(nm)=f(n)f(m)\) 时，称 \(f\) 为一个积性函数。
特别的，当函数 \(f(n)\) 对所有 \(n,m\)（\(n,m\) 不一定互质）都满足 \(f(n)=f(n)f(m)\) 时，称 \(f\) 为一个完全积性函数。
常见的数论函数
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单位函数（又称指示函数），记作 \(\varepsilon(n)\)。其定义为
\[\varepsilon(n)=\begin{cases} 1 & n = 1 \\ 0 & n \neq 1 \end{cases}\]单位函数在数论函数的运算中起到类似单位 \(1\) 的作用，或用于判断某个数是否等于 \(1\)。
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幂函数，形如 \(Id_k(n)=n^k\)。当 \(k=1\) 时，将下标省去，直接记为 \(Id(n)=n\)，称之为恒等函数；当 \(k=0\) 时，该函数的值永远等于 \(1\)，记作 \(\textbf 1(n)=1\)，称之为常数函数。
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除数函数，记作 \(\sigma_k(n)\)，定义为
\[\sigma_k(n)=\sum_{d\mid n} d^k \]当 \(k=1\) 时，写成 \(\sigma(k)=\sum_{d\mid n} d\)，称为因数和函数；当 \(k=0\) 时，写成 \(\textup{d}(n)=\sum_{d\mid n} \textbf 1\)，称为因数个数函数。
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欧拉函数，即 \(\varphi(n)\)，定义为
\[\varphi(n)=\begin{cases} 1 & n = 1 \\ n \Pi \frac {p_i} {p_i-1} & n \neq 1 \end {cases}\]其中 \(p_i\) 是 \(n\) 的互不相同的质因数。
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莫比乌斯函数，\(\mu(n)\)，具体定义见莫比乌斯反演部分。
迪利克雷卷积
迪利克雷卷积是一种数论函数之间的二元运算。对于数论函数 \(f,g\)，将它们的迪利克雷卷积记作 \(f*g\)，定义为
不难发现，迪利克雷卷积是一种运算，并不关心各数论函数的具体定义。
例如，有数论函数 \(f,g\)，则 \((f * g)(10) = f(1) g(10) + f(2)g(5) + f(5)g(2) + f(10) g(1)\)。
很容易证明，迪利克雷卷积具有以下性质：
-
交换律，即 \((f * g)(n) = (g * f)(n)\)。
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结合律，即 \(((f * g) * h)(n) = (f * (g * h))(n)\)。
-
分配律，即 \((f * (g + h))(n) = (f * g + f * h)(n)\)。
-
当 \(f\) 和 \(g\) 都是积性函数时，\(f * g\) 也是积性函数。
对于数论函数 \(f,g\)，当 \((f * g)(n) = \varepsilon(n)\) 时，称 \(f,g\) 互为逆元，记作 \(f = g^{-1}\)，\(g=f^{-1}\)。
莫比乌斯反演
莫比乌斯反演的概念
假设有数论函数 \(f(n)\)，设其求和函数
例如 \(F(10)=f(1)+f(2)+f(5)+f(10)\)。
在某些题目中，\(f(n)\) 很难计算，而 \(F(n)\) 却很好求出，此时，我们就需要一个由 \(F\) 计算 \(f\) 的工具，这就是莫比乌斯反演的意义。
莫比乌斯函数
根据定义：
\(\begin{aligned}
\begin{cases}
F(1) = f(1) \\
F(2) = f(1) + f(2) \\
F(3) = f(1) + f(3) \\
F(4) = f(1) + f(2) + f(4) \\
F(5) = f(1) + f(5) \\
F(6) = f(1) + f(2) + f(3) + f(6) \\
F(7) = f(1) + f(7) \\
F(8) = f(1) + f(8)
\end{cases}
\end{aligned}\)
解得：\(\begin{aligned}
\begin{cases}
f(1) = F(1) \\
f(2) = F(2) - F(1) \\
f(3) = F(3) - F(1) \\
f(4) = F(4) - F(2) \\
f(5) = F(5) - F(1) \\
f(6) = F(6) - F(3) - F(2) + F(1) \\
f(7) = F(7) - F(1) \\
f(8) = F(8) - F(4)
\end{cases}
\end{aligned}\)
容易发现，\(f(n)\) 的解形如 \(f(n)=\sum_{d \mid n} \mu(d) F(\frac n d)\)，其中 \(\mu\) 是一个系数函数。
根据计算和推导得到：当 \(n\neq 1\) 令 \(n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}p_3^{\alpha_3}\cdots p_k^{\alpha_k}\)（\(p_i\) 是互不相同的质数，\(\alpha_i\) 是正整数），则
而这就是所谓的莫比乌斯函数 \(\mu(n)\)！
显然，莫比乌斯函数是积性函数。
设莫比乌斯函数的求和函数 \(S(n)=\sum_{d \mid n} \mu(d)\)，则
::::info[证明1（双向映射）]
当 \(n=1\) 时，\(S(n) = \mu(1) = 1\)。
当 \(n\neq 1\) 时，设 \(n=p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} p_3^{\alpha_3} \cdots p_k^{\alpha_k}\)（\(k>0\)，\(p_i\) 是互不相同的质数，\(\alpha_i\) 是正整数），故 \(n\) 的任何因数 \(d\) 都可以表示为 \(p_1^{\beta_1} p_3^{\beta_2} p_3^{\beta_3} \cdots p_k^{\beta_k}\)（\(0 \le \beta_i \le \alpha_i\)）。
当存在 \(\beta_i \ge 2\) 时，\(\mu(d) = 0\)，对 \(S(n)\) 无贡献。所以只需要考虑 \(\beta_i = 0,1\) 的情况。
对于任意一个 \(\beta_1 = 0\) 的因数 \(d\)，都可以唯一对应一个满足 \(\beta'_1 = 1\) 的 \(n\) 的因数 \(p_1 d\)。同理，对于任意一个 \(\beta_1 = 1\) 的因数 \(p_1 d\)，都可以唯一对应一个满足 \(\beta'_1 = 0\) 的 \(n\) 的因数 \(d\)。而由莫比乌斯函数的定义式知 \(\mu(d) + \mu(pd) = 0\)。所以 \(S(n)=0\)。
::::
::::info[证明2（二项式定理）]
类比法1做分类讨论：
当 \(n=1\) 时，\(S(n) = \mu(1) = 1\)。
当 \(n \neq 1\) 时，设 \(n=p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} p_3^{\alpha_3} \cdots p_k^{\alpha_k}\)（\(k>0\)，\(p_i\) 是互不相同的质数，\(\alpha_i\) 是正整数），\(n\) 的任意因数 \(d\) 都可以表示为 \(p_1^{\beta_1} p_3^{\beta_2} p_3^{\beta_3} \cdots p_k^{\beta_k}\)（\(0 \le \beta_i \le \alpha_i\)）。
显然，我们只关心满足 \(\beta_i = 0,1\) 的 \(d\)。因为 \(d\) 的标准分解式为 \(d=\Pi_{\beta_i = 1} p_i\)，所以当有恰好 \(r\) 个 \(i\) 满足 \(\beta_i = 1\) 时，\(\mu(d) = (-1)^r\)。这样的 \(d\) 有 \(C_k^r\) 个,所以
\(S(n) = C_k^0 (-1)^0 + C_k^1 (-1)^1 + C_k^2 (-1)^2 + \cdots + C_k^k (-1)^k\)。由二项式定理得：\(S(n) = (1 + (-1))^k = 0^k = 0\)。
::::
这与单位函数的定义完全相同，所以 \(S = \varepsilon\)，也可以认为是 \(\mu * \textbf 1 = \varepsilon\)。
计算莫比乌斯函数
实际应用时，如果只要计算单个数的莫比乌斯函数的话可以直接 \(O(\sqrt n)\) 分解质因数，但通常使用莫比乌斯函数时都需要要大规模预处理 \(\mu(n)\)，需要高效的做法。
因为莫比乌斯函数是积性函数，所以我们大胆猜测可以通过线性筛算出莫比乌斯函数。事实上这是正确的，代码也很好写。
void init() {
mu[1] = 1;
for (int i = 2; i < N; i++) {
if (!vis[i]) {
primes.push_back(i);
mu[i] = -1;
}
for (int j : primes) {
if (i * j >= N)
break;
vis[i * j] = true;
if (i % j == 0) {
mu[i * j] = 0;
break;
} else
mu[i * j] = -mu[i];
}
}
}
莫比乌斯反演的应用
由上面的推导知莫比乌斯反演的公式
下面是莫比乌斯反演的一个经典应用，也可以直接当作结论在考场上使用。
给定正整数 \(n,m\)，求
乍一看似乎无从下手。
观察发现，最难处理的是判断条件符号 \([]\)，由于判断条件是 \(\gcd(i,j) = 1\)，所以可以将其转化为 \(\varepsilon(\gcd(i,j))\)，接下来就可以展开一系列变形了：
\(d\) 在里面并不好处理，考虑将它提出来，得到：
上式中符合条件的 \(i,j\) 各有 \(\lfloor \frac n d \rfloor,\lfloor \frac m d \rfloor\) 个，故
所以只要从 \(1\) 到 \(n\) 枚举 \(d\) 套公式就行了。
此外，莫比乌斯反演还有一个常用的结论：
即 \(n\) 是否有平方因子的条件函数等于右式。
::::info[证明]
当 \(n\) 没有平方因子时，根据莫比乌斯函数的定义，左式为 \(1\)，右式 = \(\mu(1) = 1\)。
当 \(n\) 有平方因子时，左式等于 \(0\)。设 \(n\) 的最大平方因子为 \(k^2\)（\(k>1\)），易证 \(d^2 \mid n \Leftrightarrow d^2 \mid k^2 \Leftrightarrow d \mid k\)。所以右式 = \(\sum_{d^2 \mid k^2} \mu(d) = \sum_{d \mid k} \mu(d) = \varepsilon(k) = 0\)。
::::
欧拉反演
欧拉反演和莫比乌斯反演一样也是常见的数论反演，欧拉反演的应用场景更狭窄一些，但效率往往高于莫比乌斯反演。
练习题
莫比乌斯反演
P4450 双亲数；
P1390 公约数的和；
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