笛卡尔树

创建时间：2025-12-30

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笛卡尔树的定义

笛卡尔树是一种特殊的二叉树，它同时具备二叉搜索树和二叉堆的性质。

具体的，笛卡尔树的每个节点都有一个键值 \(key\) 和权值 \(val\)，而一个节点 \(u\) 的左子树中所有节点的 \(key\) 都小于等于 \(key_u\)，右子树中所有结点的 \(key\) 都大于等于 \(key_u\)，且 \(u\) 一定是 \(u\) 的子树中 \(val\) 最大的节点
之一。

在实际问题中，键值通常等于序列的索引，当然也有题目中不等于。

构造笛卡尔树

以 P5854 【模板】笛卡尔树 为例：给定序列 \(a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n\)，以 \(i\) 为键值，\(a_i\) 为权值建笛卡尔树。设 \(i\) 的左儿子、右儿子分别为 \(l_i, r_i\)，输出 \(\operatorname{xor}_{i=1} l_i\) 和 \(\operatorname{xor}_{i=1}^n r_i\)。

为方便插入节点，我们称在一棵笛卡尔树上从根开始一直向右子树走直到右子树为空，得到的链为该笛卡尔树的右链。

例如下图中笛卡尔树的右链为红色部分（节点编号为其键值）：

现在考虑在右链末端插入一个键值为 \(10\) 的节点 \(x\)，显然该操作不影响笛卡尔树的二叉搜索树性质。但这么做可能破坏笛卡尔树的二叉堆性质，故应该在 \(x\) 的权值比 \(x\) 父节点的更优时将 \(x\) 上浮，直到 \(x\) 成为根节点或 \(x\) 的权值比 \(x\) 的父节点劣。像这样：

直接上浮保证了笛卡尔树的二叉堆性质。然而，这可能又破坏了笛卡尔树的二叉搜索树性质，这时只需要把节点 \(7\) 挂在 \(x\) 的左子树上就行了，即让 \(7\) 作为 \(x\) 的左儿子。

这样就成功将 \(x\) 插入笛卡尔树了。不难发现，这既没有破坏二叉搜索性质，有没有破坏二叉堆性质。

那么怎么实现这一过程呢？

根据笛卡尔树的定义知右链是一条键值单调，权值也单调的链，所以想到用单调栈维护笛卡尔树的右链。因为新节点 \(x\) 上浮过程中被顶替的所有祖先节点在 \(x\) 插入完成后都在 \(x\) 的左子树中，所以它们都不再是右链的一部分。即每个节点只会进栈一次，最多出栈一次，总建树时间复杂度为 \(O(n)\)。

代码：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1e7 + 50;

int n, p[N], top, stk[N];

struct Node {
	int lc, rc, val;
} tr[N];

int main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0), cout.tie(0); 
	
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		cin >> p[i];
	
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		tr[i].val = p[i];
		int k = top;
		while (k && p[i] < p[stk[k]])
			k--;
		if (k)
			tr[stk[k]].rc = i;
		if (k < top)
			tr[i].lc = stk[k + 1];
		stk[top = ++k] = i;
	}
	
	long long ans1 = 0, ans2 = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		ans1 ^= 1ll * i * (tr[i].lc + 1);
		ans2 ^= 1ll * i * (tr[i].rc + 1);
	}
	cout << ans1 << ' ' << ans2 << '\n';
	return 0;
} 

笛卡尔树的应用

笛卡尔树的重要性质：

1. 笛卡尔树建树的时间复杂度为 \(O(n)\)，空间复杂度也为 \(O(n)\)，在卡空间或者查询不是特别多的情况下可以代替 ST 表
2. 笛卡尔树的每个节点的管辖范围是该节点作为区间最大/小值的最大区间
3. 区间 \([l,r]\) 的最值为从下往上第一个管辖范围包含 \([l,r]\) 的节点的权值，且这个节点是 \(\operatorname{LCA}(l,r)\)

其中第 2 条很容易和 DP 一起考，通过笛卡尔树上 DP 优化和区间最值有关的状态转移。

运用笛卡尔树本身的定义以及这些性质，可以解决很多题目，例：

P1377 [TJOI2011] 树的序（笛卡尔树的建树）；
P4147 玉蟾宫（笛卡尔树的建树及基础性质）；
P3793 由乃救爷爷（笛卡尔树维护静态区间最大值）；
CF1580D Subsequence（笛卡尔树上DP）；
P5044 [IOI 2018] meetings 会议（笛卡尔树上分治+线段树优化DP）。