线性基

创建时间：2025-11-09

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线性空间的概念

线性空间（Vector Space），是由一个数域 \(P\) 和集合 \(V\) 以及加法运算、数乘运算构成的结构，是线性代数中重要的研究对象。线性空间可以包含有限个元素，也可以包含无限个元素。

线性空间需要具备的性质

1. 加法交换律：对任意的 \(a,b\in V\)，有 \(a+b=b+a\)

2. 加法结合律：对任意的 \(a,b,c\in V\)，有 \((a+b)+c=a+(b+c)\)

3. 加法单位元存在性：存在一个元素 \(0 \in V\)，使得对任意的 \(a\in V\)，有 \(a+0=a\)

4. 加法逆元存在性：对任意的 \(a \in V\)，存在一个元素 \(-a\in V\)，使得 \(a+(-a)=0\)

5. 数乘结合律：对任意的 \(k,l\in P,a\in V\)，有 \((kl)a=k(la)\)

6. 数乘分配律（左）：对任意的 \(k\in P,a,b\in V\)，有 \(k(a+b)=ka+kb\)

7. 数乘分配律（右）：对任意的 \(k,l\in P,a\in V\)，有 \((k+l)a=ka+la\)

8. 数乘单位元存在性：存在一个元素 \(1\in P\)，使得对任意的 \(a\in V\)，有 \(1a=a\)

将一个集合称为线性空间的基底当且仅当 \(V\) 中任意元素都可以由该集合中元素的线性组合表示出来。

常见的线性空间如三维向量空间，也即三维直角坐标系，它包含无限个形如 \((x,y,z)\) 的元素，\((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\) 就是它的一组基底。

线性基的概念

设有若干元素 \(a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n\)，如果 \(a_1\) 能通过 \(a_2,a_3,\cdots,a_n\) 的线性组合表示出来，则称这 \(n\) 个元素线性相关，否则线性无关。

易证，当 \(a_1\) 可以被 \(a_2,a_3,\cdots,a_n\) 表示出来时 \(a_i\)（\(2\le i\le n\)）也能被其他元素表示出来。

线性基（Linear basis），是一组线性空间的基底，且其元素线性无关。

显然，线性基并不唯一，但只要能求出一组线性基，就能更简洁更快速地等效解决很多线性组合问题。

可以证明，线性基的元素个数一定且是所有线性空间的基底中最少的。

常用的线性基一般分为实数域下的线性基和布尔域下的线性基，而 OI 中布尔域下线性基用的更多，即线性基更多用于异或问题。

构造法求线性基

下面以P3812 【模板】线性基，布尔域下线性基为例：给定 \(n\) 个数，要求其子集的异或和的最大值。

该问题等价于求线性基的子集的异或和的最大值。

显然 \(0\) 不在线性基中，且存在线性基使得每个数的最高位都不同 \(^1\)，现在考虑怎么求出这样一组线性基。

设最高位为 \(i\) 的数为 \(p_i\)，如果不存在最高位为 \(i\) 的数，则 \(p_i=0\)。

当有 \(x\in V\) 时，应尝试将数 \(x\) 插入线性基中时，首先考虑 \(x\) 的最高位 \(k\)，可以证明线性基中必然有最高为 \(k\) 的数 \(^2\)。故当 \(p_k=0\) 时应将 \(p_k\) 赋值为 \(x\)。否则，已经存在了最高位为 \(k\) 的元素，根据 1 处证明，就算 \(x\) 在线性基中也应该将 \(x\) 替换为 \(x \oplus p_k\) 再尝试（显然此时 \(x\) 的最高位变低）。故只需要从高位到低位考虑便能求出线性基。

证明

1，存在线性基满足各数最高位互不相同：

假设线性基中 \(x\) 和 \(y\) 的最高位相同，则可以保留 \(x\) 并将 \(y\) 替换为 \(x \oplus y\)，这样 \(x\) 和 \(y\) 的最高位就不再相同，并且原来可以通过线性组合表示出的数现在依旧可以。

2，当存在 \(x \in V\) 且 \(x\) 的最高位为 \(k\) 时 \(p_k\) 不可能等于 \(0\)：

设 \(p_{i_1} \oplus p_{i_2} \oplus p_{i_3}\oplus \cdots =x\)（\(p_{i_1}>p_{i_2}>p_{i_3}>...\)，\(\forall i_j \neq k\)）。显然 \(i_1>k\)。因为 \(p_{i_1-1},p_{i_1-2},p_{i_1-3},\cdots\) 中不存在其它第 \(i_1\) 位为 \(1\) 的数，所以 \(p_{i_1}\oplus p_{i_2} \oplus p_{i_3} \cdots\) 的第 \(i_1\) 位一定是 \(1\)。这与 \(x\) 的最高位为 \(k\) 矛盾，故一定有 \(p_k \neq 0\) 且 \(\exist i_j=k\)。

代码：

void check(long long x) {
	for (int k = LG - 1; ~k; k--)
		if (x >> k) {
			if (p[k] == 0) {
				p[k] = x;
				return ;
			}
			x ^= p[k];
		}
}

构造法的时间复杂度为 \(O(n\log W)\)。

线性基的应用

回归原问题，现在已经得到了一组满足各数最高位互不相同的线性基，考虑怎样得到一个异或和最大的子集。

如果我们可以使每一位在线性基都仅有一个 \(1\)，那么问题就变得简单了，全部选上就行了。而将每位都仅保留一个 \(1\) 也很好解决，可以参照高斯消元的思路在 \(j>i\) 的且 \(p_j\) 的第 \(i\) 位上是 \(1\) 将 \(p_j\) 异或 \(p_i\)。

完整代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int LG = 52;

int n;
long long p[LG];

void check(long long x) {
	for (int k = LG - 1; ~k; k--)
		if (x >> k) {
			if (p[k] == 0) {
				p[k] = x;
				return ;
			}
			x ^= p[k];
		}
}

int main() {
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		long long a;
		cin >> a;
		check(a);
	}
	
	for (int i = 0; i < LG; i++)
		for (int j = i + 1; j < LG; j++)
			if (p[j] >> i & 1)
				p[j] ^= p[i];
	
	long long ans = 0;
	for (int i = 0; i < LG; i++)
		if (p[i] != 0)
			ans ^= p[i];
	cout << ans << '\n';
	return 0;
}

在将线性基的每位保留一个 \(1\) 后不仅可以查询最大值，也可以查询最小值、k 大值，实现大同小异。有时也可能不需要做这一步转化，根据实际问题灵活应变即可。

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