Manacher

创建时间：2025-10-05

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Manacher 是一种快速解决回文子串问题的算法，通常可以以 \(O(|s|)\) 的时间复杂度完成问题。

注意到回文串的长度可能是奇数也可能是偶数，如果是奇数，那么回文串一定存在一个字符为其对称中心，可以枚举对称中心求解。如果是偶数对称中心在两个字符中间，无法使用上述做法。为了方便操作，Manacher 算法的第一步就是将两种情况统一。

下简称长度为奇数的回文串为奇回文串，长度为偶数的回文串为偶回文串（这种叫法并不标准）。

设有字符串 \(s\)，不妨在 \(s\) 的首字符前、末字符后和每两个字符中间加入一个分隔字符（分隔字符不能出现 \(s\) 中）。形式化的说，定义 \(t\) 为操作后的字符串，则 \(t=c_0s_1c_0s_2c_0\cdots c_0s_{|s|}c_0\)，其中 \(\forall i\in [1,|s|],c_0\neq s_i\)。这样，任意一个 \(s\) 中奇到 \(t\) 中一个以 \(s_i\) 为对称中心、以 # 为端点的奇回文串，一个 \(s\) 中偶回文串就可以对应到 \(t\) 中一个以 \(c_0\) 为对称中心、以 # 为端点的奇回文串。

这样便将 \(s\) 中奇回文串和偶回文串统一转成 \(t\) 中的以 # 为端点的奇回文串，同样的，\(t\) 中以 # 为端点的任意奇回文串都可以对应到 \(s\) 中的一个奇回文串或偶回文串。设一个奇回文串的长度为 \(len\)（即 \(len \equiv 1 \pmod 2\)）则称其半径为 \(\lfloor \frac {len} 2 \rfloor\)。易证，\(s\) 中回文串的长度恰好为其在 \(t\) 中对应的奇回文串的半径。

举个例子，设有 \(s\) 中奇回文串 ab、aba，则其分别对应 \(t\) 中回文串 #a#b#、#a#b#a#。

现在只需要求出 \(t\) 中以 # 为端点的奇回文串即可。

首先考虑暴力算法，枚举对称中心，再暴力向两端扩展，得到以 \(t_i\) 为对称中心的奇回文串的半径最大值，也就是以 \(s_j\) 或 \(s_j\) 和 \(s_{j+1}\) 中间为对称中心的回文串的长度最大值。根据长度最大值可以计算出回文串数量或者其他信息。

显然，暴力算法的时间复杂度为 \(O(|s|^2)\)，这个复杂度在数据范围较大时并不能接受，考虑怎么优化。

定义 \(p_i\) 表示以 \(t_i\) 为对称中心的奇回文串的半径最大值 \(+1\)，即最大的 \(r\) 满足 \(p_{i-r+1}=p_{i+r-1}\)。现计算 \(p_i\) 的值。

设 \(R=\max_{j \in [1,i)} \{i+p_i\}\)，\(mid=\) 其所对应的 \(j\)。若 \(i<R\)，则 \(i\) 一定在以 \(t_{mid}\) 为对称中心的最大奇回文串中，并且 \(i\) 在以 \(t_{mid}\) 为对称中心的最大奇回文串中与 \(t_{mid-(i-mid)}=t_{mid \times 2-i}\) 相对应，根据对称性，\(p_i\) 至少为 \(\min(p_{mid \times 2-i},R-i)\)；否则，\(i\) 不在以 \(t_{mid}\) 为对称中心的最大奇回文串中，只能确定 \(p_i \ge 1\)。得到 \(p_i\) 的下界后再暴力向两边扩展即可。只要记得更新 \(R\) 和 \(mid\) 就能以较快的速度解决问题。代码如下：

void manacher(string s) {
    string t("@#");    // 开头插入哨兵字符，防止扩展过程中越界
    for (char ch : s)
        t += ch, t += '#';
    t += '$';          // 结尾插入哨兵字符，防止扩展过程中越界
    int R = 0, mid;
    for (int i = 1; i <= s.size() * 2 + 1; i++) {
        if (i < R)
            p[i] = min(p[mid * 2 - i], R - i);
        else p[i] = 1;
        while (t[i - p[i]] == t[i + p[i]])      // 暴力扩展
            p[i]++;
        if (i + p[i] > R)
            R = i + p[i], mid = i;
    }
}

那么这样做的时间复杂度如何呢？注意到算法的主要时间开销在与暴力向外扩展的部分，考虑什么时候会 \(i\) 会在 \(p_i\) 已有基础值外扩展。

当 \(i \ge R\) 时 \(p_i\) 可能会向外扩展，但显然在扩展结束后 \(R\) 一定会变大，且等于 \(i+p_i\)，即至少变大了 \(i\) 的扩展次数；当 \(i<R\)，若 \(t_{i-\min(p_{mid \times 2 - i},R-i)} \neq t_{i-\min(mimd \times 2 - i,R-i)}\)，\(i\) 一定不会扩展；否则，一定有 \(p_i > p_{mid \times 2-i}\) 或 \(i+p_i> R\)。假设 \(i+p_i < R\)，则根据对称性 \(i\) 一定不会扩展（可以画图证明），假设不成立。故 \(i+p_i \ge R\)，即 \(i\) 到 \(R-1\) 都是回文串的一部分，\(p_i\) 至少为 \(R-i\)，根据对称性，\(p_{mid \times 2-i}\) 也应该至少为 \(R-i\)，所以 \(\min(p_{mid \times 2 - i},R-i)=R-i\)，所以 \(i\) 每扩展一次 \(R\) 便增加 \(1\)（同 \(i \ge R\) 的情况）。显而易见的是，\(R\) 是单调不减的，且最大值为 \(|t|+1\)，故算法总的时间复杂度是线性的，即 \(O(|s|)\)。