斯特林数

创建时间：2025-08-23

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斯特林数简介

斯特林数也是一种有着独特性质的数，虽然应用场景可能没有卡特兰数广泛，但生活中的应用场景也不少，经常和生成函数、FFT、NTT、二项式反演等算法一起使用。

第一类斯特林数

第一类斯特林数的定义：

对于数字 \(1\sim n\)，将其划分为 \(k\) 个圆排列的方案数称为第一类斯特林数，记作 \(s(n,k)\) 或 \([n,k]\)。

圆排列：将一个排列首尾相接拼成一个环

可以直接递推求斯特林数 \(s(i,j)\)，其初始状态为 \(s(0,0)=0,s(n,0)=0\)（\(n>0\)）。若 \(i\) 在一个新的圆排列中，则方案数为 \(s(i-1,j-1)\)；否则 \(i\) 可能排在 \(1,2,3,\cdots,i-1\) 中任意一个数后面，其方案数为 \(s(i-1,j) \cdot (i-1)\)。故有递推公式：

\[s(i,j)=\left\{\begin{aligned} 1 \quad i=j=0 \\ 0 \quad i>j=0\\ s(i-1,j-1)+s(i-1,j) (i-1) \quad i\ge j>0 \\ \end{aligned}\right.\]

根据第一类斯特林数的定义可以推导出以下常用结论：

\[\begin{equation} s(n,1)=(n-1)! \end{equation} \]

\[\begin{equation} s(n,2)=C_n^2 \end{equation} \]

\[\begin{equation} \sum_{k=0}^n s(n,k)=n! \end{equation} \]

例题：P4609 [FJOI2016] 建筑师。

第二类斯特林数

第二类斯特林数的定义：

对于数字 \(1\sim n\)，将其划分为 \(k\) 个集合的方案数称为第二类斯特林数，记作 \(S(n,k)\) 或 \(\{n,k\}\)。

类比第一类斯特林数，使用递推的方式求解。有初始状态 \(S(0,0)=1,S(n,0)=0\)（\(n>0\)）。若 \(i\) 属于一个新集合，则方案数为 \(S(i-1,j-1)\)；否则，\(i\) 可能属于之前的 \(j\) 个集合中的任意一个，方案数为 \(S(i-1,j-1) \cdot j\)。故有递推公式：

\[S(i,j)=\left\{\begin{aligned} 1 \quad i=j=0\\ 0 \quad i>j=0\\ S(i-1,j-1)+S(i-1,j) j \quad i\ge j>0 \end{aligned}\right.\]

根据定义，同样有结论：

\[\begin{equation} S(n,2)=2^{n-1}-1 \end{equation} \]

\[\begin{equation} S(n,n-1)=C_n^2 \end{equation} \]

\[\begin{equation} \sum_{k=0}^mS(m,k)k!C_n^k=n^m \end{equation} \]

例题：HDU - 2643 Rank，HDU - 4045 Machine scheduling。