卡特兰数

创建时间：2025-08-21

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卡特兰数的概念

卡特兰数（Catalan Number），是一种与斐波那契数列类似，在得到公式后发现了更多更广的应用场景，而卡特兰数的应用比斐波那契数列还要广泛。在 OI 中，如 01 排列问题、二叉树形态个数、Dyck 路径计数等常见问题都可以通过卡特兰数解决。

卡特兰数的定义

记卡特兰数的第 \(n\) 项为 \(Catalan_n\)（\(n=0,1,2,\cdots\)）。

定义式1：

\[Catalan_n=\frac {C_{2n}^n} {n+1} \]

定义式2：

\[Catalan_n=C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1} \]

递归式：

\[Catalan_n=\left\{\begin{aligned} 1 \quad n=0\\ \sum_{i=0}^{n-1}Catalan_i \cdot Catalan_{n-i-1} \quad n>0\\ \end{aligned}\right.\]

递归式2（递推式）：

\[Catalan_i=\left\{\begin{aligned} 1 \quad n=0\\ \frac {4n-2}{n+1} Catalan_{i-1} \quad n>0\\ \end{aligned}\right.\]

卡特兰数的意义

构造一种模型：每次移动只能向上或者向右一步，且不允许越过直线 \(y=x\)，求从 \((0,0)\) 到 \((n,n)\) 的合法路径数。

直接求很麻烦，正难则反。显然，如果没有直线的限制方案数就是从 \(n+n=2n\) 步中选 \(n\) 步往右走的方案数，即 \(C_{2n}^n\)。考虑怎么算不合法路径数。

以下图路径为例，其中黑线为直线 \(y=x\)，蓝色实线为一条不合法路径。

将直线 \(y=x\) 上移一个单位得到直线 \(y=x+1\)，即图中红线。注意到路径越过直线 \(y=x\) 完全等价于路径接触到直线 \(y=x+1\)。找到路径与 \(y=x+1\) 的第一个接触点，将后面的部分沿 \(y=x+1\) 翻转，得到图中蓝色虚线。可以发现，路径终点变成了 \((n-1,n+1)\)。类似的，每一条从 \((0,0)\) 到 \((n,n)\) 的不合法路径都可以唯一对应一条从 \((0,0)\) 到 \((n-1,n)\) 的路径。

那么一条从 \((0,0)\) 到 \((n-1,n+1)\) 的路径可以得到唯一的从 \((0,0)\) 到 \((n,n)\) 的不合法路径吗？答案是显然的，将第一个接触点后的部分，即蓝色虚线翻转回去即可。

由此得出任意从 \((0,0)\) 到 \((n,n)\) 的不合法路径都是可以与从 \((0,0)\) 到 \((n-1,n+1)\) 的路径形成双向映射的，它们的数量自然也相等。故从 \((0,0)\) 到 \((n,n)\) 的不合法路径数等于从 \((0,0)\) 到 \((n-1,n+1)\) 的路径数，即从 \((n-1)+(n+1)=2n\) 次移动中选 \(n-1\) 次向右。

综上，总合法方案数就是 \(C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}\)。这正是卡特兰数的定义式2！

这便是卡特兰数的实际意义之一。

卡特兰数的应用

上面的模型用起来还是有点生硬，考虑一个更简化的模式。

将向右走看成在一个序列末尾添加一个 \(0\)，向上则添加一个 \(1\)，此时不越过直线 \(y=x\) 就等价于在序列的任意一个前缀中 \(0\) 的个数不少于 \(1\) 的个数。故长度为 \(2n\) 的包含 \(n\) 个 \(0\) 和 \(n\) 个 \(1\) 的合法序列数也正是 \(Catalan_n\)。

这个模型的应用十分广泛，比如将入栈视为 \(0\)，出栈视为 \(1\)，\(n\) 个元素的进出栈方案数就是 \(Catalan_n\)；同样的，将左括号视为 \(0\)，右括号视为 \(1\)，长度为 \(2n\) 的合法括号串总数也是 \(Catalan_n\)

除了这种应用，有时还得根据卡特兰数的定义式着手推。

比如一颗有 \(n\) 个节点的二叉树，假设根的左子树大小为 \(i\)，则根的右子树大小就为 \(n-i-1\)，故其结构总数就是 \(ans_n=\sum_{i=0}^{n-i-1}ans_ians_{n-i-1}\)，其中 \(ans_0=1\)。不难发现，这就是卡特兰数的递归式1，这同样是卡特兰数的经典应用。

卡特兰数的证明中数形结合的方法同样重要，很多题目都是借鉴数形结合的方法做变式。

例题：
P1044 [NOIP 2003 普及组] 栈（卡特兰数模版）；
P2532 [AHOI2012] 树屋阶梯（卡特兰数递归式+高精度）；
P1641 [SCOI2010] 生成字符串（卡特兰数变式）；
AT_abc205_e [ABC205E] White and Black Balls（卡特兰数变式）；
CF1204E Natasha, Sasha and the Prefix Sums（卡特兰数变式）；
CF1830C Hyperregular Bracket Strings（卡特兰数+随机化哈希）。