组合基础与卢卡斯定理

创建时间：2025-08-05

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计数原理与排列组合的概念

在遇到复杂计数问题时，通常会将其分为若干相互独立的子问题求解，或者将子问题有分解为子问题，将结果按某种计数方式结合起来，得到最终答案。若子问题是完成原问题的若干种方式，那么最终答案为子问题答案的和，称之为分类加法计数原理，简称加法原理；若子问题是完成原问题的若干个步骤，那么最终答案为子问题答案的积，称之为分步乘法计数原理，简称乘法原理。

记 \(\Pi_{i=1}^n=n!\)，即 \(n\) 的阶乘，或者 \(1\) 到 \(n\) 的全排列。

排列（Permutation）的概念：对于形如“从 \(n\) 个元素中选 \(m\) 个出来按顺序排成一排”的问题，将方案总数称为排列数，记作 \(P_n^m\) 或 \(A_n^n\)（\(n \ge m\)）。

很容易发现，第一个数有 \(n\) 种选法，第二个数有 \(n-1\) 种选法，第三个数有 \(n-3\) 种选法，第 \(i\) 个数有 \(n-i+1\) 种选法。由乘法原理知总方案数为 \(n(n-1)(n-2) \cdots (n-m+1)\)，故有了排列公式：

\[P_n^m=n(n-1)(n-2) \cdots (n-m+1)=\frac {n!} {(n-m)!} \]

组合（Combination）的概念：对于形如“从 \(n\) 个元素种选出 \(m\) 个”的问题，将方案总数称为组合数，记作 \(C_n^m\)（\(n \ge m\)）。

如果用排列数 \(P_n^m\) 算这种问题，显然是会算重的，因为排列数与顺序有关，组合数与顺序无关。由于每种选法都会产生 \(P_m^m\)，所以实际上只有 \(\frac {P_n^m} {P_m^m}\) 种选法，即 \(\frac {n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1)} {m(m-1)(m-2)\cdots 1}\)。故有了组合公式：

\[C_n^m=\frac {n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1)} {m(m-1)(m-2)\cdots 1}=\frac {n!} {m!(n-m)!} \]

排列数与组合数有关的常用结论

1. \(P_n^1=n,P_n^n=n!\)
2. \(C_n^0=1,C_n^1=C_n^n=n\)
3. \(C_n^m=C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1}\)
4. \(C_n^0x^n+C_n^1x^{n-1}y+C_n^2x^{n-2}y^2+\cdots+C_n^{n-1}x^{n-1}+C_n^ny^n=\sum_{i=0}^nC_n^ix^{n-i}y^i=(x+y)^n\)（二项式定理）
5. \(C_n^0+C_n^1+C_n^2+\cdots+C_n^{n-1}+C_n^n=\sum_{i=0}^nC_n^i=2^n\)（二项式定理）

卢卡斯定理及其应用场景

卢卡斯定理（Lucas's theorem）：

对于正整数 \(n,m\) 和质数 \(p\)，有 \(C_n^m \equiv C_{n \bmod p}^{m\bmod p}C_{\lfloor \frac n p \rfloor}^{\lfloor \frac m p \rfloor} \pmod p\)

卢卡斯定理的实现：

inline int Lucas(int n, int m) {
	if (m == 0) return 1;
	return 1ll * C(n % MOD, m % MOD) * Lucas(n / MOD, m / MOD) % MOD;
}

\(n\) 和 \(m\) 每向下递归一层都会除以一次 \(p\)，故卢卡斯定理的时间复杂度是 \(O(\log_p n)\) 的。

应用1：当题目给定的模数不大，但组合数 \(C_n^m\) 的 \(n,m\) 很大时，显然不能按照直接通过组合公式计算组合数，这是可以应用卢卡斯定理，预处理较小的组合数/阶乘/逆元。

应用2：当题目给定的模数很小，以至于 \(p<n,m\)，此时的计算过程中可能遇到不存在逆元的情况，组合公式计算显然行不通，此时只能使用卢卡斯定理将计算的组合数范围缩小至 \(p\) 以下，这时便不可能出现不存在逆元的情况（除非 \(p\) 不是质数），可以直接用组合公式计算了。

应用3：注意到之前卢卡斯定理都是以递归的形式写出的。将 \(n\) 和 \(m\) 写成 \(p\) 进制形式：\(n=(a_ta_{t-1}a_{t-2}\cdots a_0)_p,m=(b_tb_{t-1}b_{t-2}\cdots b_0)_p\)，则 \(C_n^m \equiv C_{a_t}^{b_t}C_{a_{t-1}}^{b_{t-1}}C_{a_{t-2}}^{b_{t-2}}\cdots C_{a_0}^{b_0} \pmod p\)。在这种形式下，通常可以与进制形成关联。例如令 \(p=2\)，当且仅当 \(a<b(a,b<2)\) 时 \(C_a^b=0\)，可以利用这个性质快速判断 \(C_n^m\) 的奇偶性，即当且仅当 \(n\&m=m\) 时 \(C_n^m\) 是奇数，否则是偶数。