欧几里得算法&扩展欧几里得算法

创建时间：2025-05-20

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欧几里得算法

其实欧几里得算法就是我们常说的辗转相除法，即通过递归式

\[\gcd(a,b)=\begin{cases} a, & b = 0 \\ \gcd(b,a \bmod b), & b \neq 0 \\ \end{cases}\]

求出 \(a\) 和 \(b\) 的最大公因数。

考虑如何证明 \(gcd(a,b)=\gcd(b,a \bmod b),b \neq 0\)：

当 \(a<b\) 时，有 \(a \bmod b = a\)，所以 \(\gcd(b, a\bmod b)=gcd(b,a)\)，又因为 \(\gcd(a,b)=\gcd(b,a)\)，所以 \(\gcd(a,b)=\gcd(b,a \bmod b)\)。

当 \(a \ge b\) 时，令 \(a=qb+r(q \in \N^*,r \in \N,r<b)\)，则对于 \(a、b\) 的任意一个因数 \(d\) 都有 \(d \mid a=(qb+r)\)，于是 \(d\mid r\)，所以 \(d\) 是 \(b\) 和 \(r\) 的公因数。对于任意 \(b\) 和 \(r\) 的公因数 \(d'\)，有 \(d' \mid qb,d'\mid r\)，所以 \(d'\mid (qb+r)=a\)，所以 \(d'\) 是 \(a\)、\(b\) 的公因数。故 \(a\)、\(b\) 的公因数集合等于 \(b\)、\(r\) 的公因数集合，所以 \(a\)、\(b\) 的最大公因数也等于 \(b\)、\(r\) 的最大公因数，即 \(\gcd(a,b)=\gcd(b,r)=\gcd(b,a \bmod b)\)。

综上所述，\(\gcd(a,b)=\gcd(b,a \bmod b),b \neq 0\) 得证。

代码：

int gcd(int a, int b) {
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}

注：有时在写题时会偷懒直接调用C++中的 __gcd(a,b)，这就是对上述代码的一个封装，只是比赛时禁止使用 __ 开头的函数/类模板。

扩展欧几里得算法

扩展欧几里得算法的可以在求出 \(\gcd(a, b)\) 的同时得到二元一次不定方程 \(ax + by = \gcd(a, b)\) 的一组解。

先观察下列两个方程（\(b \neq 0\)）：

\[ax+by=\gcd(a,b) \]

\[bx_0+(a \bmod b)y_0=\gcd(b,a \bmod b) \]

由欧几里得算法我们可以知道 \(\gcd(a,b)=\gcd(b,a \bmod b)\)，所以可以将二式改写为：

\[ax+by=d \]

\[bx_0+(a \bmod b)y_0=d \]

又因为 \(a \bmod b=a-\lfloor \frac a b \rfloor\)，于是

\[bx_0+(a - \lfloor \frac a b \rfloor)y_0=d \]

整理得：

\[ay_0+b(x_0-\lfloor \frac a b \rfloor y_0)=d \]

此时若我们已知 \(x_0\) 和 \(y_0\) 的一组解，就能令 \(x=y_0,y=x_0-\lfloor \frac a b \rfloor y_0\) 得到 \(x\) 和 \(y\) 的一组解。故只需要递归，就能求出 \(ax+by=d(b \neq 0)\) 的解。又因为当 \(b=0\) 时原方程转变为 \(ax=\gcd(a,0)=a\)，此时只需令 \(a=1,b=0\)（\(b\) 也可以取其它任意值）即可。

int exgcd(int a, int b, int& x, int& y) {
    if (b == 0) {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int x0, y0, d = exgcd(b, a % b, x0, y0);
    x = y0, y = x0 - a / b * y0;
    return d;
}

有时也写成：

int exgcd(int a, int b, int& x, int& y) {
    if (b == 0) {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}

扩展欧几里得的应用

用扩展欧几里得，我们可以求出 \(ax+by=gcd(a,b)\) 的一组解，由于C++负数取模的特性和不定方程的周期性，令 \(x \leftarrow (x \cdot \frac c d \bmod \frac b d+\frac b d) \bmod \frac b d,d=gcd(a,b)\) 可得 \(ax + by = c\) 的最小非负整数解，这是扩展欧几里得的最常见的用处。

注意在扩展欧几里得后一定要特判 \(d \mid c\) 是否成立！！！

注意该式中的 \(c\)、\(d\) 的一定要除以 \(d\)，否则会使答案偏大！！！

其它例题：
P1516 青蛙的约会（扩展欧几里得模板题）；
P5656 【模板】二元一次不定方程 (exgcd)（强数据扩展欧几里得模板）；
P2421 [NOI2002] 荒岛野人（枚举+扩展欧几里得）；