负环

创建日期：2025-01-12

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负环是什么

负环的定义：

一张图中一条边权之和为负数的回路。

通常，我们使用已经死去的SPFA来判定是否负环。

判定负环的两种方法

1.从边出发：统计每个点最短路经过的边的数量

易知，正常情况下，在一条最短路上最多有 \(n - 1\) 条边，故可以使用 \(cnt\) 数组统计每个点的最短路经过了多少边，当有 \(cnt_i \ge n\) 时，\(i\) 的最短路上一定有负环！

那 \(cnt\) 怎么统计呢？很简单，只需要在 \(dis_v > dis_u + w\)，即要更新某个点的 \(dis\) 值时，顺便加上对 \(cnt_v\) 的更新和 \(cnt_v\) 是否大于等于 \(n\) 的特判。

模板代码如下：

bool SPFA() {
	memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
	dis[1] = 0, q.push(1);
	
	while (!q.empty()) {
		int u = q.front();
		q.pop();
		inq[u] = false;
		
		for (int i = 0; i < e[u].size(); i++) {
			int v = e[u][i].v, w = e[u][i].w;
			if (dis[v] > dis[u] + w) {
				dis[v] = dis[u] + w;
				cnt[v] = cnt[u] + 1;
				if (cnt[v] >= n)
					return true;
				if (!inq[v])
					q.push(v), inq[v] = true;
			}
		}
	}
	return false;
}

2.从点出发：统计每个点被其他点松弛的次数

可以发现，在一张图没有负环的情况下，每个点最多被除自己外的每个点松弛一次，故使用 \(cnt\) 数组统计每个点被其他不相同的点松弛了几次，当有 \(cnt_i \ge n\) 时，图中一定存在负环！

\(cnt\) 数组应该怎么求呢？

(1).在出队时统计

当一个点出队时，将 \(cnt_u\)++。

这里给出此做法的代码：

bool SPFA() {
	memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
	dis[1] = 0, q.push(1);
	
	while (!q.empty()) {
		int u = q.front();
		q.pop();
		inq[u] = false;
		
		if (++cnt[u] >= n)
			return true;
		
		for (int i = 0; i < e[u].size(); i++) {
			int v = e[u][i].v, w = e[u][i].w;
			if (dis[v] > dis[u] + w) {
				dis[v] = dis[u] + w;
				if (!inq[v])
					q.push(v), inq[v] = true;
			}
		}
	}
	return false;
}

这种做法显然是没有问题的，但有很多人容易错在下一种求法。

(2).在更新 \(dis\) 时更新 \(cnt\)

先给出局部代码：

if (dis[v] > dis[u] + w) {
	dis[v] = dis[u] + w;
	cnt[v]++;
	if (cnt[v] >= n)
		return true;
	if (!inq[v])
		q.push(v), inq[v] = true;
}

在没有重边的情况下，这种求法固然是对的。但当有重边时，这种写法是错误的！

如以下例子：

按照上述做法，若依次按100，99，98的顺序建图，则 \(u\) 一个点就将 \(cnt_v\) 增加了3次，影响了负环的判定。

综上所述，还是建议用从边出发统计 \(cnt\) 的做法，以防出现不必要的错误。

负环与二分结合的例题

UVA11090
洛谷P2868