高等数学-导数与微分

微积分基础：导数与微分公式手册

一、 导数基本理论

1. 函数可导的充要条件：函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处可导的充要条件是其左右导数存在且相等，即 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处可导 \(\iff f'_{-}(x_0) = f'_{+}(x_0)\)。

2. 函数切线方程：已知点 \((x_0, f(x_0))\)，切线方程为 \(y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)\)。

3. 函数法线方程：若 \(f'(x_0) \neq 0\)，法线方程为 \(y - f(x_0) = -\frac{1}{f'(x_0)}(x - x_0)\)。

4. 可导与连续的关系：在一元函数中，\(f(x)\) 可导 \(\implies\) \(f(x)\) 连续；但 \(f(x)\) 连续 \(\nRightarrow\) \(f(x)\) 可导。

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二、 1-16 基本初等函数求导公式

(1) 常数导数：\((C)' = 0\) ； (2) 幂函数：\((x^n)' = nx^{n-1}\) ；
(3) 对数函数：\((\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}\) ； (4) 自然对数：\((\ln x)' = \frac{1}{x}\)

(5) 指数函数：\((a^x)' = a^x \ln a\) ； (6) 自然指数：\((e^x)' = e^x\) ；
(7) 正弦函数：\((\sin x)' = \cos x\) ； (8) 余弦函数：\((\cos x)' = -\sin x\)

(9) 正切函数：\((\tan x)' = \sec^2 x\) ； (10) 余切函数：\((\cot x)' = -\csc^2 x\) ；
(11) 正割函数：\((\sec x)' = \sec x \tan x\) ； (12) 余割函数：\((\csc x)' = -\csc x \cot x\)

(13) 反正弦函数：\((\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) ； (14) 反余弦函数：\((\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) ；
(15) 反正切函数：\((\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}\) ； (16) 反余切函数：\((\text{arccot } x)' = -\frac{1}{1+x^2}\)

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三、 微分运算法则

• 加减法则：\((u \pm v)' = u' \pm v'\) （先分别求导再加减）
• 乘法法则：\((uv)' = u'v + uv'\) （前导后不导+后导前不导）
• 除法法则：\((\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\) （其中 \(v \neq 0\)） 【（分子导分母导-分母导分子不导）除以分母平方】
• 复合函数法则（链式法则）：若 \(y = f(u)\) 且 \(u = g(x)\)，则 \(y'_x = f'(u) \cdot g'(x)\)