高等数学-微积分学及应用---定积分（变限积分）

1. 【定积分的基本性质】
   （1）交换积分上下限：\(\int_a^b f(x) \, dx = - \int_b^a f(x) \, dx\)
   （2）线性性质：\(\int_a^b [k f(x) \pm m g(x)] \, dx = k \int_a^b f(x) \, dx \pm m \int_a^b g(x) \, dx\)
   （3）区间可加性：\(\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx\)
   （4）保号性（比较定理）：若在区间 \([a,b]\) 上 \(f(x) \le g(x)\)，则 \(\int_a^b f(x) \, dx \le \int_a^b g(x) \, dx\)

2. 【定积分的特殊计算】
   （1）几何意义（圆的面积）：\(\int_{-a}^a \sqrt{a^2-x^2} \, dx = \frac{\pi}{2} a^2\)；\(\int_0^a \sqrt{a^2-x^2} \, dx = \frac{\pi}{4} a^2\)
   （2）对称性（奇偶性）：若连续函数 \(f(x)\) 为 \([-a,a]\) 上的奇函数，则 \(\int_{-a}^a f(x) \, dx = 0\)；若为偶函数，则 \(\int_{-a}^a f(x) \, dx = 2 \int_0^a f(x) \, dx\)

3. 【变限积分及其导数】
   （1）常数限积分：常数限积分的结果为常数，其导数为零：\([\int_a^b f(x) \, dx]' = 0\)
   （2）基本变上限积分：微积分基本定理，\(\frac{d}{dx} \int_a^x f(t) \, dt = f(x)\)
   （3）复合变上限积分：\(\frac{d}{dx} \int_a^{\varphi(x)} f(t) \, dt = f(\varphi(x)) \varphi'(x)\)
   （4）复合变下限积分：\(\frac{d}{dx} \int_{\varphi(x)}^a f(t) \, dt = - f(\varphi(x)) \varphi'(x)\)
   （5）上下限均可变（莱布尼茨公式）：\(\frac{d}{dx} \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(t) \, dt = f(\varphi_2(x)) \varphi_2'(x) - f(\varphi_1(x)) \varphi_1'(x)\)

4. 【定积分的几何应用】
   （1）曲边梯形面积：曲线 \(y=f(x) \ (f(x) \ge 0)\) 与直线 \(x=a, x=b \ (a<b)\) 及 \(x\) 轴围成的面积 \(S = \int_a^b f(x) \, dx\)
   （2）两曲线间面积：曲线 \(y=f_2(x)\) 与 \(y=f_1(x) \ (f_2(x) \ge f_1(x))\) 及 \(x=a, x=b\) 围成的面积 \(S = \int_a^b [f_2(x) - f_1(x)] \, dx\)
   （3）绕 \(x\) 轴旋转体体积：曲线 \(y=f(x)\) 与 \(x=a, x=b\) 及 \(x\) 轴围成图形，绕 \(x\) 轴旋转一周的体积 \(V = \pi \int_a^b f^2(x) \, dx\)
   （4）绕 \(y\) 轴旋转体体积：曲线 \(x=\psi(y)\) 与 \(y=c, y=d\) 及 \(y\) 轴围成图形，绕 \(y\) 轴旋转一周的体积 \(V = \pi \int_c^d \psi^2(y) \, dy\)