高等数学-极限与连续（连续）

1. 函数在 \(x_0\) 处连续的定义
   若函数 \(f(x)\) 在 \(x = x_0\) 处连续，则 \(\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\)

2. 已知 \(x = x_0\) 为函数 \(f(x)\) 的间断点，按左右极限情况分类

   • 第一类间断点（左右极限都存在且为有限值）：
     (1) 可去间断点： \(\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x)\)
     （公共极限存在，但不等于 \(f(x_0)\) 或 \(f(x_0)\) 未定义）
     (2) 跳跃间断点： \(\lim_{x \to x_0^-} f(x) \neq \lim_{x \to x_0^+} f(x)\)
     （左右极限存在但不相等）

   • 第二类间断点（至少有一个单侧极限不存在或为无穷）：
     (3) 无穷间断点：
     至少有一个单侧极限为 \(+\infty\) 或 \(-\infty\)，即 \(\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \pm \infty\) 或 \(\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \pm \infty\)
     （或双侧均为无穷）
     (4) 振荡间断点：
     函数在 \(x_0\) 附近剧烈振荡，极限因振荡而不趋于任何有限值或无穷
     （如 \(f(x) = \sin \frac{1}{x}\) 在 \(x=0\) 处）

3. 零点定理（连续函数的零点存在性定理，也称介值定理的零点形式）
   若函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续，且 \(f(a) \cdot f(b) < 0\)（即 \(f(a)\) 与 \(f(b)\) 异号），
   则至少存在一点 \(c \in (a,b)\)，使得 \(f(c) = 0\)