高等数学-极限与连续（极限）

极限
考虑函数 \(f(x) = \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}\)：
(1)极限情况
若 \(a < b\)：\(\displaystyle \lim_{x\to 0} x^{a-b} = \infty\)
若 \(a > b\)：\(\displaystyle \lim_{x\to 0} x^{a-b} = 0\)
若 \(a = b\)：\(\displaystyle \lim_{x\to 0} x^{a-b} = 1\)
(2)一般形式
对于 \(f(x) = \frac{n x^a}{m x^b} = \frac{n}{m} x^{a-b}\)（\(n,m\) 为常数）：

\[\lim_{x\to 0} f(x) = \begin{cases} \infty, & a < b \\ 0, & a > b \\ \frac{n}{m}, & a = b \end{cases} \]

(3)无穷小的比较
设 \(f(x), g(x)\) 均为 \(x\to 0\) 时的无穷小量，比较 \(\frac{f(x)}{g(x)}\)：

1同阶无穷小：\(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = C \neq 0\)
2等价无穷小：\(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1\)
3高阶无穷小：\(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0\)
4低阶无穷小：\(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \infty\)

(4) 常见等价无穷小（\(x \to 0\) 时）
在求极限（尤其是 \(\frac{0}{0}\) 或 \(\frac{\infty}{\infty}\) 不定式）时，等价无穷小是最常用的工具：

若 \(f(x) \sim u(x)\)，\(g(x) \sim v(x)\)（即 \(\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{u(x)} = 1\)，\(\lim_{x\to 0} \frac{g(x)}{v(x)} = 1\)），且 \(\lim_{x\to 0} \frac{u(x)}{v(x)}\) 存在（有限或无穷），则

\[\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to 0} \frac{u(x)}{v(x)}. \]

\(x \to 0\) 常用的等价无穷小关系（记作 \(\sim\)）：

• \(\sin x \sim x\)
• \(\tan x \sim x\)
• \(\arcsin x \sim x\)
• \(\arctan x \sim x\)
• \(1 - \cos x \sim \frac{1}{2} x^2\)
• \(\ln(1+x) \sim x\)
• \(e^x - 1 \sim x\)
• \((1+x)^\alpha - 1 \sim \alpha x\)（\(\alpha\) 为任意常数）