[NOIP 2016 提高组] 组合数问题

我们先考虑暴力，暴力枚举每一个\(i,j\)暴力算\(\binom{i}{j}\)
时间复杂度为\(O(T*N^3)\)，显然超时

然后我们发现\(N,M \le2000\)
我们考虑使用组合数的递推公式预处理\(\binom{0}{0}\)到\(\binom{2000}{2000}\)。

这里说一下组合数递推公式\(\binom{i}{j}=\binom{i-1}{j-1}+\binom{i-1}{j}\)
可以从组合意义上来理解 我们从\(i\)个数中选\(j\)个数，对于每一个数可以分为选与不选两种情况，选的时候即\(\binom{i-1}{j-1}\),在剩下的\(i-1\)个数里选\(j-1\)个数，不选的时候即\(\binom{i-1}{j}\)，在剩下的\(i-1\)个数里选出\(j\)个数.

但是这样复杂度为\(O(T*N^2+N^2)\)，依旧无法通过，事实上我们需要一种不需要枚举\(i,j\)的方法才能通过。

我们发现对于多个询问，\(k\)始终为定值，于是考虑前缀和优化，设\(ans_{i,j}\)，在预处理时，若\(k|\binom{i}{j}\),则将\(ans_{i,j}+1\)。然后套用二维前缀和。但是我们发现，二维前缀和递推时 \(ans_{i,j}=ans_{i-1,j}+ans_{i,j-1},-ans_{i-1,j-1}+[k|\binom{i}{j}]\)，在处理到边界时，我们会用未处理的值(因为此时\(i<j\))来更新。
但是我们又发现

对于所有的 \(0\leq i\leq n,0\leq j\leq \min \left ( i, m \right )\) 有多少对 \((i,j)\) 满足 \(k|\binom{i}{j}\)

于是我们直接将未处理的值设为同一行上一个值

由此即可AC这道题了!

点我展开看代码

```cpp

    #include <bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    #define int long long
    int t,n,m,k,c[2008][2008],ans[2008][2008];
    void init(){
        c[0][0]=1;
        c[1][0]=c[1][1]=1;
        for(int i=2;i<=2000;i++){
            c[i][0]=1; 
            for(int j=1;j<=i;j++){
                c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%k;
                ans[i][j]=ans[i-1][j]+ans[i][j-1]-ans[i-1][j-1];
                if(c[i][j]==0){
                    ans[i][j]++;
                } 
            }
            ans[i][i+1]=ans[i][i]; 
        }
    }
    signed main(){
        cin>>t>>k;
        init(); 
        while(t--){
            cin>>n>>m;
            if(n<m){
                cout<<ans[n][n]<<"\n";
            } 
            else{
                cout<<ans[n][m]<<"\n"; 
            }
        }
        
        return 0;
    }
```