更相减损术（辗转相减法）

更相减损术：已知两数$a$和$b$，求$gcd(a,b)$。

不妨设$a \geq b$，若$a=b$，则$gcd(a,b)=a=b$，否则对于所有$\forall d|a,d|b$，可以证明$d|a-b$。

证明$d|a-b$如下，设$a=k_1\times d$，$b=k_2 \times d$，因为$a>b$，所以一定有$(k_1>k_2)$。所以$a-b=(k_1-k_2)\times d$，又因为$k_1\neq k_2$，所以$d|a-b$，故得证。

因此，$a$和$b$的所有公因数都是$a-b$和$b$的公因数，即$gcd(a,b)=gcd(b,a-b)$。

算法优化

如果$a >> b$($>>$表示远大于)，那么这个算法时间复杂度是$O(|a|)$的。

那考虑优化，若$2|a,2|b$，$gcd(a,b)=2\times gcd(\frac{a}{2},\frac{b}{2})$，否则若$2|a,2\nmid b$（$2|b$）同理，$gcd(a,b)=\frac{a}{2},b$，再如果$2 \nmid a,2 \nmid b$时，那么一定$2|a-b$，那么又回到$2|a,2\nmid b$的情况了，优化后的算法是$O(log~n)$的。

证明如下，每次操作一定至少能将$a$和$b$之一减半。否则$2|a-b$，回到上一种情况，算法最多进行$O(log~n)$次。