抽象代数
前言
先鸽
零、集合论
先鸽
一、代数基本概念
1. 代数运算 群
代数运算
随着数学的发展, 数的运算已经不能满足人类的需求. 除了数以外, 多项式、函数、矩阵等对象都可以进行计算. 代数就是去研究它们在运算下的性质. 然而对象不同, 运算方法也不同，但它们有许多共同的性质. 因此，人们形成了一些抽象的概念来概括这些共同的性质.
首先给出代数运算的定义.
定义 (代数运算) 设集合 \(A\neq \emptyset\), 任意一个由 \(A\times A\) 到 \(A\) 的映射就称为定义在 \(A\) 上的一个代数运算.
群
接下来要介绍的群, 就是重要的代数结构之一.
定义(群) 设集合 \(G\neq \not \emptyset\)，并定义一个称为乘法的代数运算，它满足
- 结合律：对于 \(\forall\ a,b,c\in G\)，等式 \((ab)c=a(bc)\) 成立;
- \(\exists\ e\in G\ s.t.\ ea=a\);
- \(\forall \ a\in G\), 总会 \(\exists\ b\in G\ s.t.\ ba=e\),
则 \(G\) 就被称为一个群. 上述过程中的 \(e\) 叫做左单位元/左恒等元/左幺元，\(b\) 叫做 \(a\) 的左逆元（注意这里对方向的强调）.
群 \(G\) 中元素的个数叫做群 \(G\) 的阶, 记作 \(|G|\), 若 \(G\) 中只含有限多个元素, 就称为有限群, 否则为无限群.
接下来介绍群的一些性质.
- 若 \(b\) 为 \(a\) 的左逆元, 则 \(b\) 也是 \(a\) 的右逆元;
证明: 必然 \(\exists \ c\in G\), 使得 \(cb=e\). 因此 \(a=ea=cba=ce\), 两端右乘 \(b\) 就会得到 \(ab=ceb=cb=e\).
因此 \(b\) 叫做 \(a\) 的逆元, 运算为乘法时记作 \(b=a^{-1}\); 加法时被称为负元, 并记作 \(b=-a\). - 若对 \(\forall\ a\in G\), 有 \(ea=a\), 那么等式 \(ae=a\) 必定成立;
证明: 若 \(ab=e\), 则 \(a=ea=aba=a(ba)=ae\), 故 \(ae=a\).
因此 \(e\) 叫做 \(G\) 的单位元/恒等元/幺元. - 幺元 \(e\) 唯一.
证明: 设 \(\exists\ e_0\in G\) 也是 \(G\) 的一个幺元, 那么 \(e=ee_0=e_0\). 故幺元唯一. - 一个元素的逆元唯一.
证明: 设 \(a\) 存在两个逆元 \(b,c\), 则 \(b=eb=bab=be=bac=ec=c\). 故逆元唯一. - 方程 \(ax=b\) 在 \(G\) 上的解唯一 \((a,b\in G)\).
证明：\(x=a^{-1}b\) 是方程的解, 因此存在性得证. 接下来证明唯一性. 设 \(x_1,x_2\in G\) 都是方程的解, 那么 \(ax_1=ax_2\), 两边左乘 \(a^{-1}\), 就得到 \(x_1=x_2\).
这里的证明过程也说明了群的定义中蕴含了消去律, 即 \(\forall \ a,b,c\in G\), 如果 \(ab=ac\), 则 \(b=c\).
接下来定义矩阵的方幂. \(\forall\ n\in\mathbb{N}^+\), 我们定义
右式中共有 \(n\) 个 \(a\) 相乘. 再规定
根据上述几条, 可以得到下面的等式
在上面的叙述中, 我们并没有说群的代数运算具有交换律, 但如果一个群的代数运算有交换律, 这个群就叫做阿贝尔 \((\text{Abel})\) 群或者交换群.因此, 在阿贝尔群中, \(\forall\ a,b\in G\), 等式
成立.
下面我们介绍两类重要的群.
图形的对称群 对称群 \(S_n\)
先说图形的对称群.
定义 (图形的对称群) 设 \(F\) 为平面上的一个图形. 令 \(G_F\) 为全体保持 \(F\) 不变的平面正交变换所构成的集合, 则 \(G_F\) 构成了一个群, 称其为图形 \(F\) 的对称群.
对于集合 \(G_F\), 首先结合律显然成立, 且 \(\forall\sigma,\tau\in G_F\), \((\sigma\tau)(F)=\sigma(\tau(F))=F\), 则 \(\sigma\tau\in G_F\), 运算具有封闭性; 其次恒等变换属于 \(G_F\), 则 \(G_F\) 存在幺元; 最后 \(\sigma\sigma^{-1}=I\), \(I\) 为恒等变换, 故 \(G_F\) 为一个群.
设 \(F\) 是平面上正 \(n\) 边形, 那么对于 \(F\) 的对称群 \(G_F\), 就有
其中 \(T\) 为绕中心转 \(\frac{2\pi}{n}\), \(S\) 为对于某一对称轴的镜面反射, \(T^n=I,S^2=I,ST=T^{-1}S\). 可以得到 \(|G|=2n\). 这些群通常称为二面体群, 用 \(D_n\) 来表示.
接下来我们来探讨对称群 \(S_n\).
设集合 \(M\neq \emptyset\), 可以发现, \(M\) 到自身的可逆变换全体对于变换的乘法构成了一个群, 这个群称为集合 \(M\) 的全变换群, 记作 \(S(M)\).
若 \(M\) 为无限集, 显然 \(S(M)\) 为无限集. 当 \(M\) 为含 \(n\) 个元素的有限集时, 我们称 \(M\) 到自身的可逆变换 \(\theta\in S(M)\) 为一个 \(n\) 元置换, 同时称 \(S(M)\) 为 \(n\) 元对称群, 记作 \(S_n\).
我们令 \(M=\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\}\), 并令 \(\theta:\ M\rightarrow M, \alpha\mapsto \beta=\theta(\alpha)\). 若我们给 \(M\) 的每个元素标号, 则 \(\theta\) 可以记为
其中 \(\alpha_i=\theta(i),i=1,2,\cdots,n.\)
显然 \(\theta\) 为一个双射. 那么 \(\alpha_1\alpha_2\cdots\alpha_n\) 正好对应了 \(1,2,\cdots,n\) 的一个排列, 所以 \(|S_n|=n!\).
设 \(\sigma\in S_n\), 若 \(\sigma\) 对 \(1,2,\cdots,n\) 中的 \(m\) 个数满足
则称 \(\sigma\) 为一个 \(m\) 阶的轮换, 并记为 \((\alpha_1\alpha_2\cdots\alpha_m)\). 当 \(m=1\) 时为恒等置换 (或单位置换), \(m=2\) 时称为对换.
若两个轮换 \(\sigma,\tau\in S_n\), 其中 \(\sigma=(\alpha_1\alpha_2\cdots\alpha_s),\tau=(\beta_1\beta_2\cdots\beta_t)\), 满足
则称这两个轮换是不相交的.
不相交的两个轮换 \(\sigma,\tau\) 有如下的事实.
事实 设两个不相交的轮换 \(\sigma,\tau\in S_n\), 那么有
- 交换律成立: \(\sigma\tau=\tau\sigma\);
- 任意一个非恒等置换一定可以表成不相交的轮换的乘积, 且在不考虑次序的情况下, 方式唯一.
证明 我们先证明交换律.
设 \(\sigma=(\alpha_1\alpha_2\cdots\alpha_s),\tau=(\beta_1\beta_2\cdots\beta_t)\) 是两个不相交的轮换, 对于 \(\forall\ x\in\{1,2,\cdots,n\}\), 我们做以下情形讨论:
情形一 若 \(x\in\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\}\), 则 \((\sigma\tau)(x)=\sigma(\tau(x))=\sigma(x)\), \((\tau\sigma)(x)=\tau(\sigma(x))=\sigma(x)\) (注意这里不相交条件的运用), 因此 \(\sigma\tau=\tau\sigma\).
情形二 若 \(x\in\{\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t\}\), 则 \((\sigma\tau)(x)=\sigma(\tau(x))=\tau(x)\), \((\tau\sigma)(x)=\tau(\sigma(x))=\tau(x)\), 因此 \(\sigma\tau=\tau\sigma\).
情形三 若 \(x\notin\{\alpha_i\}_{i=1}^{s}\cup\{\beta_i\}_{i=1}^{t}\), 则 \((\sigma\tau)(x)=\sigma(\tau(x))=\sigma(x)=x\), \((\tau\sigma)(x)=\tau(\sigma(x))=\tau(x)=x\), 因此 \(\sigma\tau=\tau\sigma\).
接下来证明第二条事实.
\(\forall\ \sigma\in S_n\) 且 \(\sigma\) 不为恒等置换, 若元素 \(\gamma\) 满足 \(\sigma(\gamma)=\gamma\), 则对于这个元素结论已成立.
现设 \(\alpha_1\) 满足 \(\sigma(\alpha_1)=\alpha_2\neq\alpha_1\), 则将 \(\sigma\) 作用在 \(\sigma(\alpha_1)\) 上, 得到 \(\alpha_3=\sigma^2(\alpha_1)\neq\alpha_2\). 这样不断地进行下去就可以得到一个集合
这个集合满足 \(\sigma^i(\alpha_1)=\alpha_{i+1}\neq\alpha_i\) (\(1\leqslant i\leqslant k\)).
由于 \(M\) 是一个有限集合, 则必然 \(\exists\ j\) 满足 \(0<j\leqslant k\), 使得 \(\sigma^j(\alpha_1)\) 与它之前的一个元素相等. 我们设满足这个条件的最小者为 \(j_0\), 则存在 \(l\), 使得
成立. 我们断言 \(l=0\).
下面来证明 \(l=0\). 如果 \(l\neq0\), 我们对上述等式右乘 \(\sigma^{-1}\), 就会有
这与 \(j_0\) 是最小者矛盾, 故 \(l=0\).
这样一来, \((\alpha_1\sigma(\alpha_1)\cdots\sigma^{j_0}(\alpha_1))\) 就形成了一个轮换. 于是置换 \(\sigma\) 就可以表成不相交的轮换的乘积, 而唯一性是显然的.
子群与陪集
先来谈谈子群.
定义 (子群) 对于群 \(G\) 的非空子集 \(H\), 如果 \(G\) 的代数运算关于 \(H\) 是一个群, 则 \(H\) 是 \(G\) 的一个子群, 记作 \(H<G\). 如果 \(H\neq G\), 则 \(H\) 是 \(G\) 的真子群.
对于任意集合 \(M\), \(S(M)\) 的子群叫做 \(M\) 上的变换群.
然后我们引入一个 \(S_n\) 的子群.
设 \(x_1,\cdots,x_n\) 是 \(n\) 个文字, 并令
对于 \(\sigma\in S_n\), 我们定义
显然有
如果 \(\sigma(D)=D\), 就称 \(\sigma\) 为偶置换, 若 \(\sigma(D)=-D\), 就称 \(\sigma\) 为奇置换. 我们记全体偶置换构成的集合为 \(A_n\), 显然 \(A_n\) 为 \(S_n\) 的一个子集. 我们又注意到恒等变换属于 \(A_n\), 两个偶置换相乘依旧是偶置换, 乘法封闭性被保证, 并且乘法的结合律在 \(A_n\) 中显然成立, 因此 \(A_n\) 是 \(S_n\) 的一个子群. 然而, 可以证明, 全体奇置换构成的集合 \(B_n\) 并不是 \(S_n\) 的子群.
根据上面的叙述, 可以得到下面的事实.
事实 对于 \(S_n\) 中全体偶置换构成的集合 \(A_n\) 与全体奇置换构成的集合 \(B_n\), 有如下结论成立:
- \(S_n=A_n\cup B_n\);
- \(|A_n|=|B_n|=\frac{1}{2}n!\).
我们对第二条进行证明.
证明 取 \(\sigma\in B_n\), 则 \(\sigma A_n=\{\sigma\tau|\tau\in A_n\}\), \(\sigma A_n\), 那么 \(|\sigma A_n|=|A_n||\), 又 \(\sigma A_n\) 是一个奇置换, 那么 \(|A_n|=|\sigma A_n|\leqslant |B_n|\).
同理, \(|\sigma B_n|=|B_n|\), 而 \(\sigma B_n\) 是一个偶置换, 那么 \(|B_n|=|\sigma B_n|\leqslant |A_n|\).
因此 \(|A_n|=|B_n|=\frac{1}{2}S_n=\frac{1}{2}n!\).
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