初等数论

前言

笔者在高中时期就对初等数论的知识充满兴趣，但由于一些原因，对数论也只不过是浅尝辄止。如今迈入大学，笔者才终于有机会深入探索这一数学分支。

本文将以柯召与孙琦两位学者所编著的《数论讲义》为参考，梳理总结初等数论的相关知识。

第一章  整除与唯一分解定理

1 整除性

我们先给出整除的定义与其性质.
定义(整除). 设 \(a,b\in \mathbb{Z}\), 其中 \(b\neq 0\), 如果存在
\(q\in \mathbb{Z}\) 使得等式

\[a=bq \]

成立，我们就称 \(b\) 整除 \(a\)，记作 \(b\mid a\)，此时 \(b\) 被称为 \(a\) 的因数, \(a\) 被称为 \(b\) 的倍数. 如果 \(q\) 不存在，则 \(b\) 不整除 \(a\)，记作 \(b\nmid a\) .

命题(关于整除的几条性质). 我们设 \(a,b,c\in \mathbb{Z}\). 那么下面一些关于整除的性质是必然成立的：

1. 传递性：\(c\mid b\) 且 \(c\mid a\), 则一定有 \(c\mid a\).
2. \(b\mid a\), 则 \(cb\mid ca\).
3. \(cb\mid ca\) 且 \(c\neq 0\), 则 \(b\mid a\).
4. 线性组合：\(c\mid a\) 且 \(c\mid b\), 则 \(c\mid ma+nb\). 其中 \(m,n\in \mathbb{Z}\).
5. 若 \(b\mid a, a\neq 0\), 则 \(\frac{a}{b}\mid a\)
6. 若 \(b\mid a, a\neq 0\), 则 \(|b|\leqslant |a|\)
7. \(b\mid a\Rightarrow \pm b\mid \pm a\)
8. \(\forall a\in \mathbb{Z}\) 且 \(a\neq 0\), 其因数一定为有限个.

下面的定理十分的重要，是整除理论的基石.

定理(1.1.1). 设 \(a,b\in \mathbb{Z}\), 其中 \(b>0\), 则存在两个唯一的整数 \(q,r\), 使得等式

\[a=bq+r, 0\leqslant r<b \]

成立.

证明. 首先证明唯一性. 我们作一个整数序列

\[..., -3b, -2b, -b, 0, b, 2b, 3b, ..., \]

则对于整数 \(a\), 必然存在另一个整数 \(q\) 满足如下关系：

\[qb\leqslant a<(q+1)b \]

因此又存在一个整数 \(r\) 使得 \(a=qb+r\), 即 \(r=a-qb\), 且 \(0\leqslant r<b\). 存在性得证.

接下来我们证明唯一性. 设 \(\exists\ q_1,r_1\in \mathbb{Z}\ s.t.\ a=q_1b+r_1\) 且 \(q\neq q_1, r\neq r_1\). 则有：

\[qb+r=q_1b+r_1\\b|q-q_1|=|r-r_1| \]

由于左式的值大于等于 \(b\), 右式的值因为 \(0\leqslant r<b\) 从而小于 \(b\), 矛盾. 所以 \(q,r\) 是唯一的.  ◻

这个式子叫做除法算式，其中 \(q\) 叫做 \(a\) 被 \(b\) 除得出的不完全商，\(r\) 叫做 \(a\) 被 \(b\) 除得出的余数或最小非负剩余，我们也常记作 \(\left \langle a \right \rangle_b=r\). 不引起混淆的情况下，\(\left \langle a \right \rangle_b\) 中的 \(b\) 可以省略不写.

下面列出两条关于 $\left \langle a \right \rangle $ 的一些性质.

定理(1.1.2). 设 \(a_1,a_2,b\in \mathbb{Z}\), 其中 \(b>0\), 我们有如下命题

1. \(\left\langle a_1\pm a_2\right\rangle = \left \langle \left \langle a_1\right \rangle\pm\left \langle a_2\right \rangle\right \rangle\).
2. \(\left\langle a_1a_2\right\rangle\ =\ \left\langle\left\langle a_1\right\rangle\left\langle a_2\right\rangle\right\rangle\).

在这里还给出对任意整数的一种表示方法.

定理 (1.1.3 整数的 \(m-adic\) 表示法（\(m\) 进制表示法）). 设 \(m\in \mathbb{Z}\) 且 \(m>1\), 那么 \(\forall n\in \mathbb{Z}\) 可唯一表示为

\[n=a_0+a_1m+a_2m^2+...+a_km^k\\(k\geqslant 0,\ m^k\leqslant n<m^{k+1},\ 0\leqslant a_i\leqslant m-1,\ 0\leqslant i\leqslant k,\ a_k\neq 0) \]

并称其为 \(n\) 的 \(m-adic\) 表示.

2 最大公因数与辗转相除法

首先给出公因数与最大公因数的定义.

定义. 设 \(a_1,a_2,...,a_n\) 为 \(n\) 个不全为 \(0\) 的整数. 若 \(\exists b\in \mathbb{Z}\ s.t.\ b\mid a_i\), 其中 \(1\leqslant i\leqslant n\). 我们就称 \(b\) 为这 \(n\) 个整数的一个公因数. 显然这 \(n\) 个整数的公因数个数是有限的, 这其中最大的一个公因数我们就称之为最大公因数（Greatest Common Divisor）, 并记作 \(\gcd (a_1,...,a_n)\) 或者 \((a_1,...,a_n)\).

我们有下面的定理.
定理(1.2.1). 设 \(a,b,c\in \mathbb{Z}\) 且不全为零, 如果三者满足等式

\[a=qb+c \]

其中 \(q\in \mathbb{Z}\), 那么有 \((a,b)=(b,c)\).

证明. 设 \(d_1=(a,b), d_2=(b,c)\). 则

\[d_1\mid a,\ \ d_1\mid b \]

又根据 \(a=qb+c\) 与整除的线性组合性质, 可以得到

\[d_1|a-qb=c \]

所以\(d_1\leqslant d_2\).

反过来, 又有

\[d_2\mid b,\ \ d_2\mid c \]

又根据 \(a=qb+c\) 与整除的线性组合性质, 可以得到

\[d_2|qb+c=a \]

所以 \(d_2\leqslant d_1\). 故 \(d_1=d_2\), 也就是 \((a,b)=(b,c)\).  ◻

对于最大公因数，它满足下列的一些性质

命题(最大公因数的性质). 设 \(a,b,c\in \mathbb{Z}\), 则

1. \((a,b,c)\ =\ (|a|,|b|,|c|)\).
2. 结合律：\((a,b,c)\ =\ (a,(b,c))\).
3. 交换律：\((a,b)\ =\ (b,a)\).
4. 数乘性质：\((ac,bc)\ =\ c(a,b)\)

如何求最大公因数是一个重要的问题，古希腊数学家欧几里得给出了名为辗转相除法（也称欧式算法）的一个办法. 此方法反复利用定理1.2.1，从而求得最大公因数.

设 \(a,b\in \mathbb{Z}\) 且 \(a>b>1\)，我们想求 \((a,b)\). 而这两个数满足关系

\[a=bq_1+r_1,\ 0<r_1<b \]

据定理1.2.1，我们可以去求 \((b,r_1)\)，从而有

\[b=r_1q_1+r_2,\ 0<r_1<r_2 \]

同理可以求 \((r_1,r_2)\)，经过一系列操作可以得到

\[r_{n-1}=r_nq_{n+1}+r_{n+1},\ r_{r+1}=0 \]

则 \(r_n=(r_n,0)=(r_{n-1},r_n)=...=(a,b)\)，这就是辗转相除法的过程.

下面一个重要的定理就是由辗转相除法得到的.

定理(1.2.2 裴蜀定理). 设 \(a,b\in \mathbb{Z}\) 且 \(a,b>0\), 则 \(\exists\ x,y\in \mathbb{Z}\) 使得

\[(a,b)=ax+by \]

证明.设 \(a,b\in \mathbb{Z},\ r_n=(a,b)\), 据辗转相除法，有

\[r_n=r_{n-2}-q_{n-1}r_{n-1}=r_{n-2}-q_{n-1}(r_{n-3}-q_{n-2}r_{n-2})=... \]

最终等式右边一定可以化为 \(ax+by\) 的形式，其中 \(x,y\in \mathbb{Z}\).  ◻

根据这个定理，又可以得到一个推论.

推论(1.2.1). 设 \(a,b\in\mathbb{Z}\), 则 \(a,b\) 的所有公因数都是 \((a,b)\) 的因数.

裴蜀定理存在它的推广形式.

定理(1.2.2' 裴蜀定理的推广形式). 设 \(a_1,a_2,...,a_n\in \mathbb{Z}\) 且这 \(n\) 个整数都大于 \(0\), 则 \(\exists\ x_1,x_2,...,x_n\in \mathbb{Z}\) 使得

\[(a_1,...,a_n)=\sum_{k=1}^{n}a_kx_k \]

利用数学归纳法即可证明.

几个整数的最大公因数为 \(1\) 时是个特殊且重要的情况.

定义 (互素/互质). 设 \(a_1,a_2,...,a_n\in\mathbb{Z}\), 如果 \((a_1,...,a_n)=1\), 那么就称这 \(n\) 个整数互素或互质. 若 \((a_i,a_j)=1\ (1\leqslant i,j\leqslant n,\ i\neq j)\), 就称这 \(n\) 个整数两两互素.

这里我们又给出关于互素的一些引理.

引理(1.2.1 欧几里得引理). 设 \(a,b,c\in \mathbb{Z}\), 若 \(c\mid ab\) 且 \((a,c)=1\), 则 \(c\mid B\).

证明.据裴蜀定理有

\[1=ax+cy,\ x,y\in\mathbb{Z} \]

两边同时乘上 \(b\), 得到

\[b=ab\cdot x+c\cdot by \]

由 \(c\mid ab\) 且 \(c\mid cby\) 可以得到 \(c\mid b\).  ◻

引理(1.2.2). 设 \(a,b,c\in \mathbb{Z}\), 若\(a\mid c,\ b\mid c,\ (a,b)=1\), 则 \(ab\mid c\)

证明. \(\exists\ k_1\in\mathbb{Z}\), 使得 \(c=k_1a\). 自然有 \(b\mid k_1a\). 又因为 \((a,b)=1\), 则由引理1.2.1可以得到 \(b\mid k_1\), 则 \(\exists\ k_2\in\mathbb{Z}\) 使得 \(k_1=k_2b\), 故 \(c=k_2ab\), 即 \(ab\mid c\).  ◻

这个引理有它的推广形式.

引理(1.2.2'). 设 \(a_1,a_2,...,a_n\in\mathbb{Z}\) 两两互素, 且这 \(n\) 个整数都是整数 \(b\) 的因子, 则有关系

\[\prod_{k=1}^{n}a_k\mid b \]

引理(1.2.3). 设 \(a,b,c\in \mathbb{Z}\), 若 \((a,b)=(b,c)=1\), 则 \((ab,c)=1\).

证明. 据裴蜀定理有

\[ax+cy=1,\ bz+cw=1 \]

其中 \(w,x,y,z\in\mathbb{Z}\). 两个式子相乘一定可以得到 \(abQ_1+cQ_2=1\) 的形式, 其中 \(Q_1,Q_2\in\mathbb{Z}\).  ◻

同样的，这个引理也有它的推广形式.

引理(1.2.3'). 对 \(a_1,a_2,...,a_n\in\mathbb{Z}\), 若这 \(n\) 个整数都与整数 \(b\) 互素, 则 \((\prod_{k=1}^{n}a_k,b)=1\)

裴蜀定理告诉我们，如果对于 \(a_1,...,a_n\in\mathbb{Z}\), \((a_1,...,a_n)=1\), 则 \(\exists\ x_1,...,x_n\in\mathbb{Z}\), 使得 \(\sum_{k=1}^{n}a_kx_k=1\). 但是反过来行不行呢？答案其实是肯定的.

定理(1.2.3). 设 \(a_1,...,a_n\in\mathbb{Z}\), 则 \((a_1,...,a_n)=1\) 当且仅当 \(\exists\ x_1,...,x_n\in\mathbb{Z}\), 使得 \(\sum_{k=1}^{n}a_kx_k=1\).

证明. 我们只证明后面的条件可以推出前面的条件.

令 \(d=(a_1,...,a_n)\), 显然 \(d\mid a_i\ (1\leqslant i\leqslant n)\), 自然 \(d\mid \sum_{k=1}^{n}a_kx_k=1\), 故 \(d=1\).  ◻

3 最小公倍数

首先给出公倍数与最小公倍数的定义.
定义. 设 \(a_1,...a_n\in \mathbb{Z}\), 若整数 \(m\) 是这 \(n\) 个数中每一个数的倍数, 我们就称 \(m\) 是这 \(n\) 个整数的一个公倍数. 显然这 \(n\) 个整数的公倍数有无穷多个, 这之中最小的一个正公倍数就叫做最小公倍数（Least Common Multiple）, 记作 \(\text{lcm}(a_1,...,a_n)\) 或 \([a_1,...,a_n]\).

对于最小公倍数，它有下面的一些性质.

命题(最小公倍数的性质). 设 \(a,b,c\in\mathbb{Z}\), 则

1. \([a,b,c]\) = \([|a|,|b|,|c|]\).
2. 结合律：\([a,b,c]\) = \([a,[b,c]]\)
3. 交换律：\([a,b]\) = \([b,a]\)
4. 数乘性质：\([ac,bc]\) = \(c[a,b]\)

接下来给出一个重要的定理.

定理(1.3.1). 设 \(a,b\in\mathbb{Z}^+\), 则

1. \(a,b\) 的所有公倍数就是 \([a,b]\) 的倍数.
2. \([a,b]\ =\ \frac{ab}{(a,b)}\).

证明. 设 \(S\) 为 \(a,b\) 所有公倍数的集合. \(\forall m\in S\), \(a\mid m,\ b\mid m\), 从而 \(m=ax=by\).

设 \(d=(a,b)\), 则 \(a=a_1d\), \(b=b_1d\). 所以 \(m=d\cdot a_1x=d\cdot b_1y\). 自然, \(b_1\mid a_1x\).

又因为 \((a_1,b_1)=1\), 所以 \(b_1\mid x\), 故 \(x=b_1z\).

于是 \(m=da_1b_1z\), 而 \(a_1=\frac{a}{d}\), \(b_1=\frac{b}{d}\), 所以得到 \(m=\frac{ab}{(a,b)}z\).

反过来当 \(z\) 为任意整数时, \(\frac{ab}{(a,b)}z\) 为 \(a,b\) 的一个公倍数. 令 \(t=1\), 就可以得到集合 \(S\) 中最小的正数, 故
\([a,b]=\frac{ab}{(a,b)}z\).  ◻

4 素数与算术基本定理

首先给出素数的定义与一些引理，然后给出初等数论中及其重要的定理------------算术基本定理.

定义. 设 \(a\in\mathbb{Z}\) 且 \(a>1\), 如果 \(a\) 的因数只有两个, 即\(1\) 与其自身, 则称 \(a\) 是一个素数或质数. 否则, 我们称 \(a\) 为合数或复合数.

引理(1.4.1). 设 \(a\) 是一个大于 \(1\) 的整数, 则 \(a\) 除 \(1\) 以外的最小因子 \(q\) 是一个素数, 且当 \(a\) 是一个合数时, 存在关系

\[q\leqslant \sqrt{a}. \]

证明. 假设 \(q\) 为合数, 那么 \(q\) 一定有一个因数 \(q_1\), 使得 \(1<q_1<q\), 由于 \(q\mid a\), 则 \(q_1\mid a\), 与 \(q\) 为 \(a\) 的非 \(1\) 最小因子矛盾.

当 \(a\) 为合数时, \(a=a_1q\) 中的 \(a_1\) 满足关系 \(q\leqslant a_1\), 自然可以得到 \(q\leqslant \sqrt{a}.\)  ◻

引理(1.4.2). 设 \(p\) 为一个素数, 则 \(\forall a\in\mathbb{Z}\), \(p,a\) 的关系有且只有下面两种可能且同时只能成立一条

\[1.p\mid a,\ \ \ \ 2.(p,a)=1. \]

证明. 显然 \((p,a)\mid p\), 则 \((p,a)\) 的值只能为 \(1\) 或 \(p\).  ◻

引理(1.4.3). 设素数 \(p\) 满足 \(p\mid ab\), 其中 \(a,b\in\mathbb{Z}\), 则 \(p\mid a\) 或 \(p\mid b\).

证明. 若 \(p\mid a\), 则结论已成立. 下面证明 \(p\nmid a\) 时, \(p\mid b\).

由于 \(p\nmid a\), 则 \((p,a)=1\), 而 \(p\mid ab\), 所以 \(p\mid b\).  ◻

引理(1.4.3' 引理1.4.3的推广形式). 设素数 \(p\) 满足 \(p\mid \prod_{k=1}^{n}a_k\), 其中 \(a_k\in\mathbb{Z}\), 则 \(\exists\ a_i\ (1\leqslant i\leqslant n)\), 满足 \(p\mid a_i\).

下面给出一个重要定理------------算术基本定理（亦称整数的唯一分解定理）.

定理(1.4.1 算术基本定理（整数的唯一分解定理）).

\(\forall a\in\mathbb{Z}^+\), 总可以唯一地（不考虑次序与负数的情况下）表示为一些素数的乘积, 即

\[a=p_1p_2...p_n,\ \ p_1\leqslant p_2\leqslant...\leqslant p_n, \]

其中 \(p_1,...,p_n\) 均为素数, 而且如果

\[a=q_1q_2\dots q_m,\ \ q_1\leqslant q_2\leqslant...\leqslant q_m, \]

其中 \(q_1,...,q_n\) 均为素数, 那么一定有 \(m=n\), \(p_k=q_k(1\leqslant k\leqslant n)\).

证明. 设 \(a\in\mathbb{Z}^+\), 当 \(a=1\) 或 \(a=2\) 时显然成立. 下设 \(a>2\), 如果算术基本定理对所有小于 \(a\) 的整数 均成立, 下面对 \(a\)
情形进行分析.

1. 如果 \(a\) 为素数, 则结论已成立.
2. 如果 \(a\) 为合数, 我们先证明可表示性. 必然 \(\exists\ b,c\in\mathbb{Z}\), 且 \(b,c>1\), 使得 \(a=bc\). 显然 \(b,c<a\), 则算术基本定理对 \(b,c\) 都成立, 即 \(b=s_1...s_k\), \(c=t_1...t_k\). 所以 \(a=s_1...s_k\cdot t_1...t_k\). 则 \(a\) 的可表示性得证.

接下来我们证明唯一性. 设 \(a=p_1...p_s=q_1...q_t\ (p_1\leqslant...\leqslant p_s,\ q_1\leqslant...\leqslant q_t)\). 那么存在关系 \(p_1\mid \prod_{k=1}^{n}q_k\), 根据引理1.4.3', \(\exists\ i(1\leqslant i\leqslant t)\), \(p_1\mid q_i\), 而 \(p_1,q_i\) 均为素数, 则 \(p_1=q_i\).

再根据 \(p_1\leqslant...\leqslant p_s,\ q_1\leqslant...\leqslant q_t\), 可以得到 \(p_1\geqslant q_1\), 同理可以得到 \(q_1\geqslant p_1\), 故 \(p_1=q_1\).

所以存在关系 \(p_2...p_s=q_2...q_t=\frac{a}{p_1}<a\), 而对于小于 \(a\) 的数 \(\frac{a}{p_1}\), 已经可以被唯一表示为一些素数的乘积, 则 \(a\) 也可以被唯一地表示为一些素数的乘积. 唯一性得证.  ◻

对于大于 \(1\) 的整数 \(a=p_1p_2...p_n\)，我们可以将相同的素数写成幂的形式，也就是

\[a=p_1^{r_1}p_2^{r_2}...p_k^{r_k}\ (p_1<p_2<...<p_k)(r_i>0,\ 1\leqslant i\leqslant k), \]

这叫做 \(a\) 的唯一分解式. 而对于另一个大于 \(1\) 的整数 \(b=p_1^{q_1}p_2^{q_2}...p_k^{q_k}\)，如果 \(b\mid a\)，则
\(r_i\geqslant q_i\geqslant 0\ (1\leqslant i\leqslant k)\).

to be continued...