快速幂

快速幂

快速幂，是一个在 \(\Theta(\log n)\) 的时间内计算 \(a^n\) 的小技巧。

对于 \(n\) ，它有 \(\lceil \log n\rceil\) 个二进制位，那么我们只需要进行 \(\log n\) 次的乘法就可以计算出 \(a^n\)。

例如计算 \(4^{12}\)，我们将 \(12\) 改写为二进制形式：\((1100)_2\)，那么 \(4^{12}\) 就等于：

\[4^{12}=4^{1\times 2^3}\times 4^{1\times 2^2}\times 4^{0\times 2^1}\times 4^{0\times 2^0} \]

也就是：

\[4^{12}=4^{1\times 2^3}\times 4^{1\times 2^2}\times 1\times 1 \]

所以最终的答案就只是 \(4^{1\times 2^3}\) 与 \(4^{1\times 2^2}\) 相乘。而 \(4^{2^3}\) 只需要靠 \(4^{2^2}\times 4^{2^2}\) 来获得即可。由此可以得出思路：进行 \(\lceil \log n\rceil\) 次乘 \(a\) 的运算，当这一位的 \(n\) 为 \(1\) 的时候，将答案与此时的 \(a\) 相乘即可。

代码如下：

int power(int a,int b){
	int ans=1;
	while(b){
		if(b&1)
			ans=ans*a;
		b>>=1;
		a*=a;
	}
	return ans;
}

快速乘与之类似，不再赘述。