平均最短路径长度（Average Shortest Path Length）

假设政府 A 希望与政府 D 建立间接联系，可以通过以下两条路径：
路径一：

\[A\rightarrow C\rightarrow D \]

经过2条边，所以路径长度是2。
路径二：

\[A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow D \]

经过3条边，所以路径长度是3。
显然，第一条路径更短。
因此，最短路径（Shortest Path）是两个节点之间所有可行路径中，边数最少的那一条路径，该路径经过的边数即为最短路径长度（针对当前无权网络）。
记作：

\[d_{AD}=2 \]

其中\(d_{AD}\)表示节点A到节点 D 的最短路径长度。
这里有一个重要区别：

• A 与 D 是否直接连接，由邻接矩阵元素\(a_{AD}\)判断。

• A 到 D 至少需要经过多少条边，由最短路径长度\(d_{AD}\)判断。

所以在这个例子中：

\[a_{AD}=0,\qquad d_{AD}=2 \]

两者并不矛盾。
还需要注意，路径长度不是地理距离、实际交通时间或者真实行政协调成本。本文的无权网络只计算经过多少条网络边。

刚才我们只计算了 A 到 D 的最短路径。

但如果希望衡量整个合作网络的连接效率，就需要考虑网络中所有不同节点对之间的最短路径长度。
因此：
平均最短路径长度，就是所有不同节点对的最短路径长度的平均值。
下面通过四政府网络进行计算。

第一步：列出所有节点对

对于4个节点，我们需要从中选取2个，且不考虑顺序。

\[\binom42=\frac{4\times3}{2}=6 \]

共有6对：

节点对	最短路径	长度
A—B	A → B	1
A—C	A → C	1
A—D	A → C → D	2
B—C	B → C	1
B—D	B → C → D	2
C—D	C → D	1

第二步：将所有最短路径长度相加

\[1+1+2+1+2+1=8 \]

第三步：计算平均值

\[AL=\frac86=\frac43\approx1.333 \]

因此，在我们的四政府合作网络中：

\[AL\approx1.333 \]

可以理解为：在这个网络中，任意选取两个不同政府，它们之间的最短路径长度平均约为1.333条边。

对于包含\(n\)个节点、且任意两个节点都可以相互到达的简单无向网络，平均最短路径长度通常写为：

\[AL=\frac{2}{n(n-1)}\sum_{i<j}d_{ij} \]

其中：

符号	含义
\(AL\)	平均最短路径长度
\(n\)	网络中的节点总数
\(d_{ij}\)	节点 (i) 到节点 (j) 的最短路径长度
\(\sum_{i<j}\)	对所有不重复的不同节点对求和
\(\frac{2}{n(n-1)}\)	将最短路径长度的总和除以节点对数量

为什么分母涉及\(n(n-1)\)？
因为\(n\)个节点中，不考虑顺序的不同节点对共有：

\[\frac{n(n-1)}2 \]

所以计算平均值时，相当于除以这个数量：

\[AL=\frac{\sum_{i<j}d_{ij}}{\frac{n(n-1)}2} \]

整理后就是前面的公式。

特殊情况：两个节点之间没有路径怎么办？

这也是一个需要知道的数学边界。
如果网络中存在互不连通的部分，那么某些节点之间没有可达路径，此时其最短路径距离通常记为无穷大。
这种情况下，不能直接套用前面的连通网络公式得到一个有限平均值。研究者可能只计算最大连通分量，或者只对可达节点对求平均，但必须说明采用了哪一种规则。
现阶段只需要掌握连通、无向、无权网络的基本计算方法。