最小公倍数之和

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Description

给定 \(\{A_i\}\)，求

\[\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n lcm(A_i,A_j) \]

Solution

挺有意思的，实际上求的是

\[\sum_{d}^w \frac{1}{d} \sum_{i=1}^n A_i \sum_{j=1}^n A_j [gcd(A_i,A_j)=d] \]

令 \(F(d)\) 表示 \(gcd\) 是 \(d\) 倍数的情况数，\(f(d)\) 表示 \(gcd\) 恰好是 \(d\) 的情况数，那么

\[F(d)=\sum_{i=1}^n A_i \sum_{j=1}^n A_j [gcd(A_i,A_j)|d]=\sum_{i=1}^n A_i \sum_{j=1}^n A_j [d|A_i][d|A_j]=\Big ( \sum_{d|A_i} A_i \Big)^2 \]

所以 \(F(d)\) 就是所有 \(d\) 的倍数的和的平方，这个可以做到 \(n\log n\)。而

\[f(d)=\sum_{d|n} \mu(\frac{n}{d}) F(n) \]

这题就做完了。