CF997C Sky Full of Stars

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Solution

令 \(G(x,y)\) 表示恰好有 \(x\) 行 \(y\) 列的颜色相等的方案数，那么答案就可以表示为 \(3^{n^2}-G(0,0)\)

令 \(F(x,y)\) 表示选 \(x\) 行 \(y\) 列为同种颜色，剩下的可以随便选的可重方案数。

尝试用 \(G\) 表示 \(F\)，容易知道在 \(F(x,y)\) 中，\(G(i,j)\) 的每个方案，都被重复计数了 \(\binom{i}{x}\binom{j}{y}\) 次。

\[F(x,y)=\sum_{i=x}^n\sum_{j=y}^n \binom{i}{x}\binom{j}{y}G(i,j) \]

那么根据二项式反演，有

\[G(x,y)=\sum_{i=x}^n\sum_{j=y}^n (-1)^{i-x+j-y} \binom{i}{x}\binom{j}{y} F(i,j) \]

代入 \(x=0，y=0\) ，答案就是

\[3^{n^2}-\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^n (-1)^{i+j}F(i,j) \]

那么只需要将 \(F\) 求出即可，根据 \(F\) 的定义容易知道

\[F(i,j)=\begin{cases} \binom{n}{i}\binom{n}{j}\times 3\times 3^{(n-i)(n-j)} , & ij\neq 0\\ \binom{n}{i}\times 3^i \times 3^{n(n-i)}, & ij=0 \ \mbox{and}\ i\neq 0\\ \binom{n}{j}\times 3^j \times 3^{n(n-j)}, & ij=0 \ \mbox{and}\ j\neq 0\\ 3^{n^2} , & i+j=0 \end{cases}\]

分情况求出 \(G(0,0)\)，即按 \(F\) 的取值分类，易得

\[G(0,0)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j}F(i,j)+2\sum_{i=1}^n (-1)^i F(i,0)+F(0,0) \]

第一项

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} \binom{n}{i}\binom{n}{j} \times 3 \times 3^{(n-i)(n-j)}=3\sum_{i=1}^n (-1)^i\binom{n}{i}\sum_{j=1}^n \binom{n}{j}(-1)^j\times (3^{n-i})^{n-j}=(*) \]

对后面的式子用二项式定理，注意下指标从 \(1\)开始，故还要减去第 \(0\) 项的值 \((3^{n-i})^n\)，得

\[(*)=3\sum_{i=1}^n (-1)^i \binom{n}{i}[(3^{n-i}-1)^n-3^{n(n-i)}] \]

可以 \(O(n\log n)\) 直接求了。对于第二项只有单重求和，不用化简，\(O(n\log n)\) 直接求。

#include<stdio.h>
#define N 1000007
#define ll long long
#define Mod 998244353

ll fac[N],inv[N];

ll qpow(ll x,ll y){
    x=(x%Mod+Mod)%Mod;
    ll ret=1,cnt=0;
    while(y>=(1LL<<cnt)){
        if(y&(1LL<<cnt)) ret=(ret*x)%Mod;
        x=(x*x)%Mod,cnt++;
    }
    return ret;
}

ll C(ll x,ll y){
    if(x<y) return 0;
    return fac[x]*inv[y]%Mod*inv[x-y]%Mod;
}

ll n;
int main(){
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<N;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%Mod;
    inv[N-1]=qpow(fac[N-1],Mod-2);
    for(int i=N-2;~i;i--) inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%Mod;
    ll ans=0; scanf("%lld",&n);
    for(int i=1,op=-1;i<=n;i++,op=-op)
        ans=(ans+3*op*C(n,i)*((qpow(qpow(3LL,n-i)-1,n)-qpow(3LL,n*(n-i)%(Mod-1))+Mod)%Mod)%Mod)%Mod;
    for(int i=1,op=-1;i<=n;i++,op=-op)
        ans=(ans+2*op*C(n,i)*qpow(3LL,i)%Mod*qpow(3LL,n*(n-i)%(Mod-1))%Mod+Mod)%Mod;
    printf("%lld",ans);
}