疑惑核

2020.10.31

题目描述

求异或和 \(1\leq a，b\leq 2^{63}-1\)，答案对 \(23333333333333333\) （质数）取模

解法

先转换为前缀做差，设 \(f(x)\) 表示 \([0,x]\) 的数的异或和。答案就是 \(f(b)-f(a-1)\)

因为是异或，不同位间不会产生影响，所以考虑把每一位分开算贡献。若 \(c\) 的第 \(i\) 位是 \(v_i\)，那么贡献就是 \(a\) 到 \(b\) 的所有数中第 \(i\) 位是 \(v_i\ xor \ 1\) 的数的出现次数乘上 \(1<<i\) 。

求 \(f(x)\)。记 \(ned=v_i \ xor \ 1\)，\(lim\) 表示 \(x\) 的第 \(i\) 位是多少，则 \(lim=(x>>i)\&1\)。可以分三种情况快速求出每一位需要的值的个数：

1. \(ned=lim\)。那么此时第 \(i\) 位取到上限，若第 \(i\) 位之前的都取到上界（1种），则后面的数都不能超过上界，贡献为后面的数个个数加一（有0），即 \(x-((x>>i)<<i)+1\)，总的贡献为 \((x-((x>>i)<<i)+1)\times(1<<i)\)
2. \(ned=1，lim=0\)。若前面取到上界，那么当前为就取不到 \(1\)，那么前面一定不能取上界，因此后面的数就可以随便取。前面的贡献是 \((x>>(i+1))\)，后面的贡献是 \(1<<i\) ，根据乘法原理总的贡献是 \((x>>(i+1))\times(1<<i)\times(1<<i)\)
3. \(ned=0,lim=1\)。前面的只要不超过上界就行了，贡献为 \((x>>(i+1))+1\) （有0），因为第 \(i\) 位要取 \(0\)，就没有达到上界，后面的可以随便取。总的贡献为 \(((x>>(i+1))+1）\times(1<<i)\times(1<<i)\)。

时间复杂度 \(\Theta(\log n)\)

Tips

这是一个恶心的模数，边模边乘都会爆，从 \(100\) 炸到 \(10\)，需要加上龟速乘。

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define LL long long
#define Mod 23333333333333333LL

int T;
LL a,b,c;

LL Mul(LL x,LL y){
    LL ret=0,len=0;
    while(y>=(1LL<<len)){
        if(y&(1LL<<(len++))) ret=(ret+x)%Mod;
        x=(x+x)%Mod;
    }
    return ret;
}

LL calc(LL x){
    LL ans=0;
    for(int i=0;i<63;i++){
        int lim=(x>>i)&1LL,ned=((c>>i)&1LL)^1LL;
        if(lim==ned){
            LL ret=(x-((x>>i)<<i)+1LL)%Mod;
            ret=(ret+Mul((x>>(i+1))%Mod,(1LL<<i)%Mod))%Mod;
            ans=(ans+Mul(ret,(1LL<<i)%Mod))%Mod;
        }else if(lim){
            LL ret=Mul(((x>>(i+1))+1)%Mod,(1LL<<i)%Mod);
            ans=(ans+Mul(ret,(1LL<<i)%Mod))%Mod;
        }else{
            LL ret=Mul((x>>(i+1))%Mod,(1LL<<i)%Mod);
            ans=(ans+Mul(ret,(1LL<<i)%Mod))%Mod;
        }
    }
    return ans;
}

int main(){
    freopen("sum.in","r",stdin);
    freopen("sum.out","w",stdout);
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);
        printf("%lld\n",((calc(b)-calc(a-1))+Mod)%Mod);
    }
}
/*
1
30217346 1530633997 1331237392
*/