学习笔记——博弈论

前言

博弈论真是一门玄学，这类题需要我们有强大的数学功底以及一定的推演能力，在考场上我们一般没有时间去证明一个结论的正确性，所以只能靠打表找出前几项的规律再推演到所有。

公平组合游戏（ICG）

若一个游戏满足

• 由两名玩家交替行动

• 在游戏进程的任何时刻，可执行的合法行动与轮到那名玩家无关

• 不能行动的玩家判负

则该游戏称为公平组合游戏。

有向图游戏

给定一个有向无环图（DAG），图中有唯一的起点，在起点上放有一枚棋子。两名玩家交替地把这枚棋子沿有向边进行运动，每次可以移动一步，无法移动者判负。该游戏被称为有向图游戏。

任何一个公平组合游戏都可以转化为有向图游戏。具体的方法是将每一个局面看成图中的一个节点，并从每个局面沿合法行动能够到达的下一个局面连向边。

Mex运算

设\(S\)表示一个非负整数集合，定义\(mex(S)\)为求出不属于集合\(S\)的最小非负整数的运算，

\[mex(S)=min(x) \{x \in N,x \notin S\} \]

SG函数

在有向图游戏中，对于每一个节点\(x\)，设从\(x\)出发共有\(k\)条有向边，分别到达节点\(y_1,y_2,...y_k\)，定义\(SG(S)\)为\(x\)的后继节点\(y_1,y_2,...y_k\)的\(SG\)函数值构成的集合再执行\(mex\)运算结果，即

\[SG(x)=mex( \{SG(y_1),SG(y_2),...,SG(y_k) \}) \]

整个有向图游戏的\(SG\)函数值被定义为有向图起点的\(SG\)函数值。

有向图游戏的和的\(SG\)函数值等于它的每个子游戏\(SG\)函数值的异或和，即

\[SG(G)=SG(G_1) \bigoplus SG(G_2) \bigoplus ... \bigoplus SG(G_m) \]

定理

若在有向图游戏中某个局面必胜，当且仅当该局面对应节点的\(SG\)函数值大于\(0\)

若在有向图游戏中某个局面必败，当且仅当该局面对应节点的\(SG\)函数值等于\(0\)

理解：

若该局面的\(SG\)函数值为\(0\)，则当前玩家无法操作（定义）,所以为必败局面。

若该局面的\(SG\)函数值不为\(0\)，则当前玩家可以将当前局面移动到\(SG\)函数值为\(0\)的局面中（定义，\(SG(S)>0\)，则该节点的后继中有\(SG(y)=0\)的节点）,所以为必胜局面。

例题

P2197 【模板】nim 游戏（题解加学习笔记）（我的代码）

P2252 [SHOI2002]取石子游戏|【模板】威佐夫博弈（题解）（我的代码）

P2148 [SDOI2009]E&D（题解）（我的代码）

P1288 取数游戏II（题解）（我的代码）

P1290 欧几里德的游戏（题解）（我的代码）

P1247 取火柴游戏（裸的nim游戏）（题解）（我的代码）

P2575 高手过招（阶梯nim博弈）（题解）（我的代码）

参考资料

《算法竞赛进阶指南》

[学习笔记] （博弈论）Nim游戏和SG函数（from A_Comme_Amour）