欧拉图学习笔记

你咋不会这个？
图论里挺重要的东西，学一下

定义

• 欧拉路径是经过图中每条边恰好一次的路径
• 是回路的欧拉路径是欧拉回路
• 具有欧拉回路的图成为欧拉图。具有欧拉通路但不具有欧拉回路的图成为半欧拉图

性质

考虑证明 \(G\) 是欧拉图和 \(G\) 中所有顶点的度数都是偶数（对于有向图，每个顶点的入度等于出度）是充要。

充分性

我们挑出一个欧拉回路，那么这个包含了所有边。

• 对于无向图，我们的回路有进来的就有出去的，两条边给这个点的贡献就是2，所以度为偶数
• 对于有向图，我们的回路有进来的就有出去的，两条边给这个点的贡献就是入度和出度都 \(+1\)，所以每个点的入度都相等

据此，我们也可以得出半欧拉图的性质，那么就是

• 对于无向图，有两个点的度数为奇
• 对于有向图，有一个点入 \(+1=\) 出，有一个点入 \(=\) 出 \(+1\)

必要性

OIwiki里面很详细吧，感性理解一下。
使用反证法若所有顶点的度数都是偶数\(\dots\)，且不存在欧拉回路，那么必然存在这么一条路径，我们从 \(u\) 开始，然后在 \(to\) 结束。

• 对于无向图。我们这样一条路径存在，并且不能继续下去，要么就是其他边都已经被遍历过了，要么就是没出边了。第二种情况显然不可能。考虑第一种也不可能吧
• 对于有向图同理

没了？
到时候可以补下丁香之路