博弈入门“芝士”准备~
强烈推荐的一篇学博弈的博客~：https://blog.csdn.net/sinat_40872274/article/details/84983258?utm_source=app
自己再此基础上截取了比较简短的，可以拿来直接用的东西，所以要想仔细学一番的话请去看链接中大佬的博客吧^^^^
(一).巴什博奕（Bash Game）:
解决问题类型：只有一堆n个物品,两个人轮流从这堆物品中取物,规定两个人轮流从这堆物品中取物,规定每次至少取一个，最多取m个。最后取光者胜（谁最后把全部都拿完了谁赢）
解决问题方法：要给对手留下（m+1）的倍数，就能最后获胜！
结论：1. if(n%(m+1)!=0) 则先手必赢
2. if(n%(m+1)==0) 则后手必赢
拓展：通用方法：P/N分析法
P点：必败点，某完家位于此点，只要对方无失误，则必败；
N点：必胜点，某玩家位于此点，只要自己无失误，则必胜；
三个定理：
1.所有终结点都是必败点；
2.所有一步能走到必败点P的就是N点；
3.通过一步操作只能到N点的就是P点；
(二).威佐夫博弈（Wythoff Game）:
解决问题类型：有两堆各若干个物品，两人轮流从某一堆或同时从两堆中取出同样多的物品，规定一次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。
解决方法：我们用（ak,bk）(ak<=bk, k=0, 1, 2, ..., n)表示两堆物品的数量并称其为局势，当某玩家面对的是（0,0）时，那么他就输了，这种局势就叫奇异局势。面对此局势（奇异局势）的玩家就是必败的；
如何找出所有的奇异局势？
下面证明：根据下面的方法，可以构造出所有的必败态：
1.（0，0）是必败态；
2. 第k个必败态的两个数相差为k（计（0,0）是第0个必败态）
3. 已知前k个必败态，则最小的没出现过的正整数为第k+1个必败态的第一个数。
举个栗子~
（0，0），（1， 2），（3， 5）， （4， 7）中含有{0， 1， 2， 3， 4， 5， 7}，缺少一个6，所以下一个奇异局势的前一个数就是6.为（6,10）；
奇异局势的三条性质：
1.任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中；
2.任意操作都可以将奇异局势变为非奇异局势；
3.采用适当的方法，可以将非奇异局势变为奇异局势；
求奇异局势的公式：
第一个值=（int）（差值*1.618）（1.618 = (1+sqrt(5))/2 ）
即ak=[k(1+sqrt(5))/2]，bk=ak+k，（k=0,1,2,...,n方括号表示向下取整）；
结论：
1.(int)( (bk-ak) * (1+sqrt(5))/2 ) != ak，先手必赢
2.(int)( (bk-ak) * (1+sqrt(5))/2 ) == ak，后手必赢
（三). 尼姆博弈（Nimm Game）:
解决问题类型：有n堆各若干个物品，两人中轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少去一个，多者不限，最后取光者得胜。
结论：
1.a1 xor a2 xor a3 xor....xor an != 0 必胜态（a1, a2, ...,an分别表示每堆石子个数）
2.a1 xor a2 xor a3 xor....xor an == 0 必败态
Nim博弈的两个性质：
1. 必败态只能转移到必胜态
2. 必胜态总能转移到每个必败态
（四). 斐波那契博弈（Fibonacci Nim）:
解决问题类型：有一堆个数为n的石子，游戏双方轮流取石子，满足：1）先手不能在第一次把所有的石子取完；2）之后每次可以取的石子数介于1到对手刚取的石子数的2倍之间（包含1和对手刚取的石子数的2倍）。取走最后一个石子的人为赢家。
结论:当n为Fibonacci数的时候，必败。
f[i]:1，2，3，5，8，13，21，......
（五).博弈的王道——SG函数和SG定理：
SG函数：首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。 对于任意状态 x (玩家当前面临的石子个数)， 定义 SG(x) = mex(S),其中 S 是 x 后继状态的SG函数值的集合。如 x 有三个后继状态分别为 SG(a),SG(b),SG(c)，那么SG(x) = mex{SG(a),SG(b),SG(c)}。 这样 集合S 的终态必然是空集，所以SG函数的终态为 SG(x) = 0,当且仅当 x 为必败点P时。
结论：
1.当SG[x] = 0时，x为必败状态。
2.当SG[x] > 0时，x为必胜状态。
【实例】取石子问题
有1堆n个的石子，每次只能取{ 1, 3, 4 }个石子，先取完石子者胜利，那么各个数的SG值为多少？
SG[0]=0，f[]={1,3,4},
x=1 时，可以取走1 - f{1}个石子，剩余{0}个，所以 SG[1] = mex{ SG[0] }= mex{0} = 1;
x=2 时，可以取走2 - f{1}个石子，剩余{1}个，所以 SG[2] = mex{ SG[1] }= mex{1} = 0;
x=3 时，可以取走3 - f{1,3}个石子，剩余{2,0}个，所以 SG[3] = mex{SG[2],SG[0]} = mex{0,0} =1;
x=4 时，可以取走4- f{1,3,4}个石子，剩余{3,1,0}个，所以 SG[4] = mex{SG[3],SG[1],SG[0]} = mex{1,1,0} = 2;
x=5 时，可以取走5 - f{1,3,4}个石子，剩余{4,2,1}个，所以SG[5] = mex{SG[4],SG[2],SG[1]} =mex{2,0,1} = 3;
下面以x = 5时做样例分析:
当玩家面对还有5个石子的状态时，他可取{1，3，4}个石子，那么5的后继状态集合就是{4，2，1}。
那么mex{SG[4],SG[2],SG[1]} =mex{2,0,1} = 3 ，可得出SG[5] = 3 > 0,为必胜态。
以此类推.....
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8....
SG[x] 0 1 0 1 2 3 2 0 1....
由上述实例我们就可以得到SG函数值求解步骤，那么计算1~n的SG函数值步骤如下：
1、使用 数组f []将 可改变当前状态 的方式记录下来。
2、然后我们使用 另一个数组S[] 将当前状态x 的后继状态标记。
3、最后模拟mex运算，也就是我们在标记值中 搜索 未被标记值 的最小值，将其赋值给SG(x)。
4、我们不断的重复 2 - 3 的步骤，就完成了 计算1~n 的函数值。
SG 定理就是：SG(G)=SG(G1)^SG(G2)^...^SG(Gn)。也就是说，原游戏的SG函数值是它的所有子游戏的SG函数值的异或。
解题模型：
1.把原游戏分解成多个独立的子游戏，则原游戏的SG函数值是它的所有子游戏的SG函数值的异或。
即SG(G)=SG(G1)^SG(G2)^...^Sg(Gn)。
2.分别考虑每一个子游戏，计算其SG值。
SG值的计算方法：（重点）
a.可选步数为1~m的连续整数，直接取模即可，SG(x) = x % (m+1)（Bash game）。
b.可选步数为任意步，SG(x) = x（Nim game）。
c.可选步数为一系列不连续的数，用模板计算。
i.打表模板
int f[N],SG[MAXN],S[MAXN];//f[] - 可改变当前状态 的方式 S[] - 当前状态的后继状态集合
//打表
void getSG(int n) {
int i,j;
memset(SG,0,sizeof(SG));
for(i = 1; i <= n; i++) {
memset(S,0,sizeof(S));
for(j = 0; f[j] <= i && j <= N; j++)
S[SG[i-f[j]]] = 1;//S[]数组来保存当前状态的后继状态集合
for(j = 0;; j++) if(!S[j]) {//模拟mex运算
SG[i] = j;
break;
}
}
}
ii.深搜模板
1 //注意 f数组要按从小到大排序 SG函数要初始化为-1 对于每个集合只需初始化1遍 2 //n是集合f的大小 f[i]是定义的特殊取法规则的数组 3 int f[110],SG[10010],n; 4 int SG_dfs(int x) 5 { 6 int i; 7 if(SG[x]!=-1) 8 return SG[x]; 9 bool vis[110]; 10 memset(vis,0,sizeof(vis)); 11 for(i=0;i<n;i++) 12 { 13 if(x>=f[i]) 14 { 15 SG_dfs(x-f[i]); 16 vis[SG[x-f[i]]]=1; 17 } 18 } 19 int e; 20 for(i=0;;i++) 21 if(!vis[i]) 22 { 23 e=i; 24 break; 25 } 26 return SG[x]=e; 27 } 28
3.若SG(G)=SG(G1)^SG(G2)^...^Sg(Gn) > 0,局势为N，先手必胜，反之局势为P，先手必败。
普遍优先使用打表法，只用在打表无法使用的时候再使用深搜。
