做题记录（Sep.）
9.1
- 开学了。
P7124
可以通过 dfn 序转化成求一堆区间外的集合。考虑类似 CDQ 的东西，取一个中间值，子树对应区间整体在左或在右的递归处理；跨过中间的，由于 dfn 序的性质，显然互相包含，那么可以双指针往中间靠拢。那么就做完了。
P3809*
SA 板子。
9.2
P2178
经典题目，SA 的应用，height 数组与并查集的结合。
P1117
参考 OI-wiki 上讲的，搞出来以一个位置开头和结尾的连续两个重复子串个数，拼起来就行。
P4173*
带通配符的单模式串匹配板子。
9.3
AT_agc050_a
我不会 Ad-hoc。
P9445
P4173 的二维版本，可以把模式矩阵的列用通配符补齐，然后两个都拉成序列再跑 P4173。
P2260
拆拆拆，拆成几个整除分块，其中有一个二维的，同理推一下式子即可。
CF338D
写神人错误虚空调试一下午/ll。
把所有的 \(\gcd(x,y+i-1)=a_i\) 转换成 \(x=k_1\operatorname{lcm}(a_1,a_2,\dots,a_k)\) 和 \(y\equiv 1-i\pmod {a_i}\)，后者 EXCRT 一下，合并成 \(y=k_2\operatorname{lcm}(a_1,a_2,\dots,a_k)+y_0\)。然后就是要求 \(\gcd(x,y+i-1)=a_i\)，发现 \(k_1=1\) 是最优的，限制最少，而 \(k_2\) 和这个没关系，所以取零就行，那验证一下就行。
9.4
P5491*
二次剩余板子。
P5598*
Lucas 定理好题啊。
P6610*
二次剩余应用题。首先可以把 \(P\) 拆成若干个奇素数 \(p\)，然后变成若干个 \(a^2 + b^2\equiv x\pmod p\)，那么可以把这些用 CRT 合起来，方案数相乘即可。
那么现在考虑单个式子。如果 \(\genfrac{(}{)}{}{0}{x}{p}=1\)，说明 \(x\) 是二次剩余，那么对于 \(a^2=x\)，\(a\) 有两种取值，同理可得当 \(\genfrac(){}{0}{x}{p}=0\) 时 \(a\) 有一种取值，\(\genfrac(){}{0}{x}{p}=-1\) 时没有取值。发现取值数量恰好就是 \(\genfrac(){}{0}{x}{p}+1\)。那么我们令 \(i=a^2,j=b^2\)，就有 \(i+j\equiv x\pmod p\)，而方案数就是
那么根据勒让德符号的完全积性以及二次剩余在 \(1\sim p-1\) 中占一半的性质，可以写成：
分情况讨论，如果 \(x=0\)，则答案为 \(p-(p-1)\genfrac(){}{0}{-1}{p}\)，否则，\(\frac{x}{i}-1\) 能取到 \(0\sim p-2\) 的所有值，答案为 \(p-\genfrac(){}{0}{p-1}{p}\) 也就是 \(p-\genfrac(){}{0}{-1}{p}\)。把所有这个乘起来就行。
9.5
AT_abc229
A
赛时被自己骗了一小时。上来发现构造形如 ARAR...ARARCRC...RCRC 可以等于贡献 A 的数量乘 C 的数量的次数。然后就开始以这个思路拼，结果被卡了。最后验证发现，如 \(X=597\) 等情况，没有办法压下 \(100\) 个字符。
寻找操作的本质，可以发现 R 其实是不会动的，所以实际上就是忽视 R 后相邻的 AC 交换位置。那么把 A 当作 \(1\)，把 C 当成 \(0\)，其实答案就是逆序对数。我的具体构造方法：\(50\) 个偶数位塞 R，剩下的前一半塞 A，后一半塞 C，初始逆序对数为 \(625\)，多了就把最后一个能往后换的 A 往后换就行。
C
这是 C 啊，显然奇偶交替时下取整减少的最多，让两头的尽量大加的最少。所以枚举两头都奇都偶和一奇一偶的情况就没了。
9.6
P4345
用 Lucas 定理拆成 \(p\) 进制然后数位 DP。
P17290
略。
P17313
模拟赛时读错题 3h，到结束都以为自己没救了。发现 \(c_i\) 较小，挪动主字符的周期只有 \(T=60\)，可以直接 DP。
P9981
先建返图跑 DAG 求出最长路，然后按最长路分层。考虑从小到大逐层求出答案。对于每一层，考虑每个点和上一层的连边，以这条边的边权为第一关键字，连向的点的排名为第二关键字，排序得到这一层的排名即可。
9.7
P17307
好聪明的题啊。见题解。
AT_abc335_g
阶的应用，有结论就是题目等价于求有多少对 \(i,j\) 满足 \(\delta_p(a_i)|\delta_p(a_j)\)。
GYM101741F & QOJ #11741
假装我过了。
9.8
P10074
首先分析什么是最劣的，那就是每次新选一个打都打到了血量最高的那个。考虑他的策略，每次选定一个血量为 \(x\) 的怪物，从血量高的到血量低的，依次打 \(x\) 次，直到打死，然后再选一个血量更小或相等的，继续如法炮制。
为什么不会出现前面打过的怪血量更低更好清的情况？那不如先选这个血量高的怪，所以在 DP 时会考虑。
状态 \(f_{i,j}\) 表示第 \(i\) 次选择怪物，打的是血量第 \(j\) 大的那只。显然有转移：
可惜是 \(O(mn^2)\) 的，所以斜率优化掉最里层的 \(n\) 即可。
9.9
- 打模拟赛。
P5468 & P6302
写的勾石代码，调了一晚上 /ll。
把每辆车按出发时间排序。定义 \(f_i\) 为到达第 \(i\) 条线路的终点时的烦躁值最小是多少。可以斜率优化，用一个优先队列把处理完的线路存起来，当现在考虑的线路出发时间大于等于这些线路的到达时间时，把他们加入凸包。
9.10
- 打 ICPC 重现赛。
P4072*
四边形不等式优化 DP 板子。拆一拆方差可以发现只需要最小化 \(\sum x^2\)，\(x\) 是每段和。
9.11
P3571*
斜率不止能优化 DP。
CF833B
显然四边形不等式优化，中间用类似莫队的东西暴力维护不同颜色数。
P13214
爽了，第一次独立做黑。我的题解。
CF321E
依旧四边形不等式优化。
9.12
- 打模拟赛。
AT_abc251_d
欸，我怎么八百年前做过。众所周知 \(1,2,4,\cdots\) 可以表示所有数，但是只能选三个数的话，那就让所有数在某个进制下不超过 \(3\) 位。那不就是 \(100\) 进制吗，刚好 \(n=300\)，做完了。
CF2255B
何 *1600，改成 *2200 吧。注意到 \(0/1\) 的段数不会改变，所以统计一下个数和段数然后插板。
9.14
P17198
这不黑？首先定义 \(l_i,r_i\) 为 \(A,B\) 在 \((i,i+1)\) 时 \(A\) 最左和最右能到哪里，那么可以发现 \(B\) 最右能到 \(r_i+1\)，所以对于每次询问，\(A\) 最左能到 \(\min_{i=a}^{b-1} l_i\)，\(B\) 最右能到 \(1 + \max_{i=a}^{b-1} r_i\)，只要这个区间包含 \((c,d)\)，那就是 YES。怎么求 \(l_i,r_i\)？令 \(p_i,q_i\) 为走一次跳板最左或最右能到哪里，那么对于每个 \(i\)，显然可以走到 \(\left[p_i,q_{i+1}-1\right]\)，所以连边（线段树优化建图）。然后跑 Tarjan 缩点后 Topsort 求出 \(l_i,r_i\) 即可。最后用 ST 表维护询问。
P10633
第一次见这个 trick，见题解。
P3515
四边形不等式优化 DP，见题解。
9.15
P1501
基础 LCT。
AT_fps_24_g
可以看作带删除的的完全背包。由于完全背包没有顺序，可以直接当作最后一次加入的东西然后反着撤销。
9.16
P14467
倍增跳。
CF1137F
LCT。为了方便，每次把最大值变成树根，那树根就是最后删掉的。考虑转化问题，记录每个点子树内的最大值，那么对于最大值不同的，最大值更大的后删。相同的复杂一点，对于树上每一颗 splay，维护一条子树最大值相同的链，更靠上（splay 里 右子树 siz 更大）的后删。对于查询排名，用一个树状数组维护每种最大值有几个点，查询前缀和可知子树最大值更小的有多少。对于子树最大值相同的，也是 splay 右子树的 siz 个先删。
9.17
P17471
题解。
AT_agc013_e
暴力 DP 很好想，看到平方想到什么？直接一手管道取珠。用组合意义重新 DP 并用矩阵加速。
9.18
CF2109C(1~3)
惊为天人的 Ad-hoc。
QOJ #20029
首先很好想到暴力 DP 和前缀和优化。那么令 \(x_i\) 为 \(a_i-b_i\) 的前缀和，\(y_i\) 为 \(a_i-c_i\) 的前缀和。可以发现如果 \(j<i,x_j\le x_i,y_j \le y_i\)，就可以使用转移 \(f_i=f_j+i-j\)，否则只能 \(f_i=f_j\)，是个三维偏序，可以在 CDQ 时维护 DP。
AT_fps_24_a
题解。
AT_fps_24_l
一个含 \(n\) 个点的轮换的 EGF 是 \(\sum\frac{(n-1)!}{n!}x^n\)，这个题本质上是求没有轮换大小 \(\le2\) 的置换数量，把轮换的 EGF 的前几项去掉做 exp 即可。
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