CF1838E

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题目描述：

给定一个数组 \(a\) 的 \(n\) 个整数，其中所有元素 \(ai\) 位于范围 \([1,k]\) 内。有多少不同的数组 \(b\) 的 \(m\) 个整数，其中所有元素 \(b_i\) 位于范围 \([1,k]\) 内，包含 \(a\) 作为子序列？如果两个数组在至少 \(1\) 个位置上不同，则认为它们是不同的。

如果 \(x\) 可以通过删除若干（可能为零或全部）元素从 \(y\) 得到，那么序列 \(x\) 是序列 \(y\) 的一个子序列。

由于答案可能很大，请对其取模 \(10^9+7\) 后输出。

\(n\le 2\times 10^5\ \ \ m\le 10^9\)

关键矛盾：

首先 \(a\) 数组的值肯定是完全没用的。

所以一种思路是：

选定一些位置放 \(a\) 数组的值，其他放 \(b\) 。

但题目问的是存在这个子序列，所以直接数肯定会重。

这时候应当思考如何判定存在一个子序列。

思路当是从左往右扫如果相同就匹配，否则跳过。

那再思考如何计数：

我们还是选定一些位置，然后我们希望计数这样一种 \(b\) 数组，使得 \(b\) 的判定流程中这些位置是匹配上的位置。

显然这些位置上放 \(a\) 数组的值。

其他地方的值不能和后面一个选定的位置的值相同，不然就会提前匹配到这个位置。

如果后面没有选定位置了，就可以随便选。

根据这个，可以写出一个计数式子：

\[\sum_{i=n}^{m} \binom{i-1}{n-1} \times (k-1)^{i-n}\times k^{m-i} \]

可惜，\(m\le 10^9\) ，所以过不了。

更严重的问题是，此式需要用到高等数学的只是才能优化，至此思路卡死。

正难则反

考虑如何计数不合法的序列。

不合法的序列即没有匹配到 \(n\) 个的序列。

枚举它匹配到了多少个，那么：

\[\sum_{i=0}^{n-1} \binom{m}{i}\times (k-1)^{m-i} \]

含义是在 \(m\) 个位置中选择 \(i\) 个，由于后面一定有还没有匹配的位置，所以所有剩余 \(m-i\) 个位置就都只能选 \(k-1\) 个。

至此此题结束。