子序列权值和问题

子序列权值和问题

一、按贡献维度分类的技巧

技巧 1：单元素贡献法

适用信号：权值可写成

\[W(S)=\sum_{x\in S} f(x) \]

如元素和、长度和、平方和、某些标记和。

核心：元素 \(a_i\) 被多少个子序列包含。若没有额外限制：

\[2^{i-1}\cdot 2^{n-i}=2^{n-1} \]

所以所有子序列元素和：

\[\sum_i a_i2^{n-1} \]

注意：

• 非空子序列要减去空集贡献；
• 若要求固定长度、必须包含某类元素、至少选 \(k\) 个，则包含次数要重新算；
• 位置不同算不同子序列，这个公式才成立；若要求“不同值子序列”则要另做去重 DP。

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技巧 2：点对贡献法

适用信号：权值可写成

\[W(S)=\sum_{x<y\in S} f(x,y) \]

如逆序对数、点对距离、乘积交叉项、偏序关系数。

核心：枚举点对 \(i<j\)，算它们同时被选中的子序列数：

\[2^{i-1}\cdot 2^{n-j} \]

再乘 \(f(a_i,a_j)\)。

优化：

• 逆序对常用树状数组按值统计；
• 若贡献依赖大小关系，先排序确定偏序；
• 维护数量、和、平方和等。

注意：

• 点对是否有序；
• 是否只算 \(i<j\)；
• 重复值是否产生贡献。

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技巧 3：极值枚举法

适用信号：权值涉及最大值、最小值、\(\max-\min\)、次大值、前 \(k\) 大。

核心：排序后枚举“谁作为极值”，统计可选元素个数，乘组合数。

例如排序后所有子序列的 \(\max-\min\)：

\[\sum_{i<j}(a_j-a_i)2^{j-i-1} \]

可用前缀和优化。

注意：

• 子序列极值通常排序 + 组合数；
• 子数组极值通常单调栈 + \(DP\)，不要混；
• 相同值要规定唯一极值边界，避免重复计数。

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技巧 4：阈值拆分 / 层级贡献法

适用信号：出现 MEX、\(\min\)、前缀最小值之和、“至少 \(k\) 个”、覆盖层数、得分至少 \(x\)。

核心：把整数权值写成层级布尔条件之和：

\[f=\sum_{k\ge1}[f\ge k] \]

对 \(\min\)：

\[\min(x_1,\dots,x_m)=\sum_{k\ge1}[x_1\ge k,\dots,x_m\ge k] \]

固定 \(k\) 后，条件常变成“每个值至少选 \(k\) 个”这种独立条件，再用组合数 + 前缀积统计。

组合公式：值 \(x\) 出现 \(c\) 次，至少选 \(k\) 个：

\[A_x(k)=2^c-\sum_{r=0}^{k-1}\binom{c}{r} \]

CF2030E 的定位：
先发现单数组得分：

\[\text{score}(b)=\sum_{i\ge0}\min_{0\le j\le i}cnt[j] \]

再阈值拆分：

\[=\sum_{k\ge1}\sum_{i\ge0}[\forall j\le i,\ cnt[j]\ge k] \]

固定 \(k,i\) 后，对 \(j\le i\) 每个值至少选 \(k\) 个，值 \(>i\) 随便选，于是：

\[\prod_{j=0}^{i}A_j(k)\cdot 2^{n-\sum_{j=0}^{i}c_j} \]

用前缀积扫。

复杂度关键：

\[\sum_{k\ge1}p_k\le n \]

其中 \(p_k\) 是第一个出现次数 \(<k\) 的值位置。所以枚举所有有效 \((k,i)\) 总次数是 \(O(n)\)。

注意：

• 先求单实例公式，再拆层；
• 固定阈值后要检查各值是否独立；
• 非空、模数、组合预处理。

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技巧 5：按位拆贡献

适用信号：按位与、按位或、异或和、二进制权值。

核心：按位独立统计：

\[\sum_b 2^b\cdot \#\{\text{子序列第 }b\text{ 位为 }1\} \]

常见：

• 按位或：该位为 1 的方案数 = 总方案数 - 只选该位为 0 的元素的方案数；
• 按位与：该位为 1 当且仅当只选该位为 1 的元素；
• 异或和：该位为 1 需要选奇数个该位为 1 的元素，若该位有 1，则方案数常为 \(2^{n-1}\)。

注意：

• 空子序列是否计入；
• 非空子序列要单独减；
• 异或最大值问题常用线性基，不是简单按位拆。

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技巧 6：DP 维护状态摘要

适用信号：权值不能简单拆，但加入一个元素后状态可用少量摘要更新。

常见状态：

• \(dp[i]\)：前 \(i\) 个元素的答案；
• \(dp[i][j]\)：选 \(j\) 个；
• \(dp[g]\)：gcd 为 \(g\) 的方案数/权值和；
• \(dp[mask]\)：按位状态；
• \(dp[max][min]\)：值域小时；
• \(dp[0/1]\)：是否已选、是否满足条件。

典型：gcd 子序列
不同 gcd 个数只有 \(O(\log V)\) 种，用 map 维护：

\[dp[\gcd(g,x)] += dp[g] \]

同时维护方案数和权值和。

注意：

• 状态是否快速收敛；
• 是否要同时维护方案数和权值和；
• 滚动数组与清空。

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技巧 7：增量合并法

适用信号：权值能由“方案数 + 总和 + 必要辅助量”更新。

设当前所有子序列方案数为 \(C\)，权值和为 \(S\)。加入 \(x\) 后：

• 不选 \(x\)：保留旧贡献；
• 选 \(x\)：旧子序列都追加 \(x\)。

若权值是元素和，则需维护方案数和总和；若含平方和、长度、乘积，还要维护平方和、长度和等辅助量。

注意：

• 空集是否在状态中；
• 新单独 \(\{x\}\) 的贡献；
• 权值更新是否非线性。

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技巧 8：生成函数 / 多项式

适用信号：固定长度、乘积、组合计数明显。

构造：

\[\prod_{i=1}^n(1+y x^{a_i}) \]

其中 \(y\) 记长度，\(x\) 记权值。答案取某些系数和。

实际常用：

• \(O(nk)\) 背包 DP；
• NTT 合并多项式；
• 值域小用背包；
• 只关心长度时 \(y\) 维 DP。

注意：

• 子序列位置不同算不同，生成函数直接乘；
• 若要求不同值子序列，需要去重；
• 模数与 NTT 条件。

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技巧 9：容斥与补集

适用信号：求“至少一个满足”“全部满足”“包含某类元素”，正面难算。

常用：

\[\text{答案}=\text{全部}-\text{不合法} \]

例如：

• 按位或为 0：只选该位全 0 的元素；
• gcd 为 1：总数减 gcd 非 1；
• 必须包含某类元素：总数减完全不选该类。

注意：

• 容斥事件是否独立；
• 空集是否被重复减。

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技巧 10：排序 + 数据结构

适用信号：贡献依赖大小关系，如逆序对、偏序、点对距离、极值配对。

流程：

1. 排序或离散化确定偏序；
2. 枚举一端；
3. 用树状数组/线段树维护前面元素的数量、和、平方和。

注意：

• 相同值处理；
• 子序列保序，排序只用于统计偏序，不要改变原位置组合数公式。

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技巧 11：前缀积 / 前缀和 / 后缀自由选择

适用信号：固定阈值或状态后，每个位置/值独立，但要求“前缀都满足”。

常见形式：

\[\prod_{j=0}^{i}A_j\cdot 2^{\text{剩余自由元素数}} \]

边扫边维护前缀积。

注意：

• 前缀积为 0 时要小心；
• 后缀自由选择数用 \(2^{n-\sum c_j}\)；
• 模逆元是否可用。

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技巧 12：枚举有效状态而不是值域

适用信号：看似要枚举很多 \(k,i\) 或 gcd 值，但有效状态总量受限。

常见性质：

• \(\sum p_k\le n\)；
• 不同 gcd 只有 \(O(\log V)\) 个；
• 不同前缀最小值只有 \(O(\sqrt n)\) 段；
• 调和级数枚举倍数。

注意：要敢于证明总枚举量，而不是无脑枚举值域。

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技巧 13：频数 / 多重集 / 分组统计

适用信号：权值只依赖每个值出现次数，如 MEX、gcd、覆盖层数。

做法：

• 统计 \(cnt[x]\)；
• 按值分组；
• 每组内用组合数；
• 组间用前缀积/DP。

注意：

• 值域通常 \(0\le a_i<n\)；
• 很多 MEX 题只关心 \(0\) 到第一个缺失值；
• 频数为 0 会截断前缀。

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技巧 14：线性基 / 异或子序列

适用信号：子序列最大异或和、异或值数量、异或空间。

常用：

• 线性基求最大异或；
• 异或和之和按位拆；
• 不同异或值计数看线性基秩。

注意：异或和之和与最大异或和是不同题型。

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技巧 15：去重子序列

适用信号：题目要求“不同子序列”而不是位置不同。

常用：

• \(dp[i]\) 表示前 \(i\) 个的不同子序列数；
• 用 \(last[x]\) 减去重复；
• 权值和去重更复杂，需按值维护。

注意：大多数“所有子序列”默认位置不同算不同；若题目说“不同子序列”才去重。

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技巧 16：空集与非空

通用注意：

• 很多公式先算含空集，最后减空集；
• 空集权值可能为 0，但计数可能影响；
• MEX 空集、gcd 空集、按位或空集要单独定义。

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四、题型对照表

题型	主要技巧
子序列元素和	单元素贡献
子序列长度和	单元素贡献
子序列平方和	单元素贡献 + 平方
子序列最大值/最小值	极值枚举
子序列 \(\max-\min\)	排序 + 组合数
子序列逆序对和	点对贡献 + 树状数组
子序列 gcd 和	map DP 维护 gcd
子序列按位或/与和	按位拆
子序列异或和之和	按位拆
子序列最大异或和	线性基
固定长度子序列和	生成函数/背包 DP
子数组极值和	单调栈 + DP
MEX / 前缀最小值 / 至少 \(k\) 层	阈值拆分 + 组合数 + 前缀积
不同子序列计数	去重 DP + last
CF2030E	先求单数组得分 \(\sum\min cnt\)，再阈值拆分，固定 \(k\) 后每值至少选 \(k\) 个，前缀积统计