P14211-路径问题的处理

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题意：

给你一颗 \(n\) 个节点的树，和树上的 \(q\) 条路径，求一个路径对，使得这两条路径的交的长度最大。

\(n,q\le 2\times 10^5\)

解法：

观察一下路径交的性质，大致将路径分为两类：

• \(lca\) 相同的路径

• \(lca\) 不同的路径

链：

对于后者，发现两条路径交一定是一条直链。

对于这种路径交为直链且链的一端已知的情况，我们想要快速的求出这条路径与其他路径的交的最大值。那么有个套路就是：

• 用 \(multiset\) 去维护路径的另一端（按照 \(dfs\) 序排序）。

• 查询时找到路径某一端 \(v\) 的前驱后继， 然后分别找到 \(v\) 与前驱和后继的 \(lca\) ，取其中深度更大的一个。

如红色路径，已知路径交链顶一端一定为 \(3\) 号节点。红色路径某一端点 \(5\) 的前驱是 \(4\) 号节点，后继是 \(5\) 号节点。则查找 \(lca(4,5)=4\) , \(lca(7,5)=5\) ， 去深度最大的节点 \(5\) 作为路径交的链的右端点。

\(sol\) :直接在树上按照路径 \(lca\) 的 \(dfs\) 序处理，结合刚刚的 \(multiset\) 。

共 \(lca\) :

对于 \(lca\) 相同的路径，路径交是折线 。那么显然对每个点分别处理所有 \(lca\) 是该点的路径。

这里有两种思考方式：

• 枚举每条路径，快速找另一条路径使得其与该路径的交的长度最大。

• 枚举路径交的一段，快速找到路径交另一端的最大深度。

显然，第一种直接 \(out\) ，因为虽然这种情况下两条路径的交可以 \(O(1)\) 算出来，但多条路径还是 \(O(n^2)\) 没法优化。

那么思考第二种，第二种实际上是在降维，降成只用考虑路径交为直链的情况（即情况一）。

显然我们可以先建出虚树，然后再虚树上枚举路径交（这和原问题是等价的）。

那么考虑怎么融合情况一。

假设枚举到了 \(x\) ，则需要把 \(x\) 子树里面的路径的另一端都加入 \(multiset\) 。然后查询相邻两个数的 \(lca\) 的深度。

但显然，如果直接这样枚举的话，时间复杂度是 $O(n^2\log n) $的，不可接受。

但其实你会发现这个过程实际上是树上的一个合并过程，即把当前节点儿字子树内的路径端点都加入到当前节点的 \(multiset\) 中。

这可以用树上启发式合并解决。显然我没想到 。

这样这道题就做完了。

如果使用 \(O(1)\) \(lca\) 的话 ，时间复杂度就是 $O(n\log^2n) $ 。（假设 \(n\) ,\(q\) 同阶 ）