P7078 贪吃蛇

P7078 [CSP-S 2020] 贪吃蛇

性质一：

首先有一个性质是：

一个蛇如果吃了过后不是最弱的就一定会吃，证明：

假设有：

\[a\le b\le c\le d\le e \]

假设 \(e\) 吃了 \(a\) 不是最弱的，那么一定有：

\(b\le e-a\)

假设下一轮 \(d\) 又吃了 \(b\) ：

那么 \(d\) 会变成：

\[d-b\le e-a \]

由于后者编号更大，所以一定不是最弱的：

继续往后推：\(c\) 吃了 \(d\) ，则 \(c\) 变成

\[c-d+b\le e-a \]

这是因为 \(c-d\le0\) ，\(b\le e-a\) 。

继续往后推都有 \(e-a\) 不是最弱的，所以 \(e-a\) 不会被吃掉。

性质二：

如果蛇 \(x\) 吃了过后变成最小的，抉择会是什么？

假设：

\[a\le b\le c\le d\le e\le f \]

由于 \(f\) 吃了 \(a\) 后变成最小的了，那么：

\[f-a<a\le b\le c\le d\le e \]

假设 \(e\) 吃了 \(f\) ，那么就会变成：

\[e-f+a\le b \]

因为 \(e-f\le 0\) ，\(a\le b\) 。

但此时 \(e\) 不一定是最弱的。因为 \(e\) 的编号比 \(b\) 大。

如果 \(e\) 不是最小的，那么 \(e\) 就会吃掉 \(f\) ，所以 \(f\) 就不能吃 \(a\) 。

而如果 \(e\) 是最小的，那 \(e\) 的决策就与 \(d\) 有关。

继续递归下去，直到某一只蛇吃了过后不是最弱。然后各个蛇决策就可以反推回去。

部分分：

大致是两部分，第一部分是当前蛇吃了不是最弱，那就一直吃。第二部分是当前蛇吃了就变成最弱的了，递归去反推决策。

直接用 \(set\) 维护就行了。

时间复杂度 \((Tn\log n)\)

正解：

要求 \(O(n)\) ，那没关系，回到刚刚我们推的式子。

第一部分：

根据我们刚刚推出来的式子：

• 一个蛇吃了过后不是最弱的就不会成为最弱的。

• 一个蛇吃了过后可能在某一轮会成为最强的，不能不管。

• 蛇吃了过后的值随轮次不增。

第三条容易证明，见性质一。

第二部分：

根据性质二中的式子：

• 一个蛇吃了过后变成最弱的后有可能会在后续的模拟中被吃掉，不能不管。

• 一个蛇吃了过后一定是最弱的，否则模拟终止，所以这条蛇会在下一轮模拟中被最强的蛇吃掉。

这两部分都可以用两个双端队列维护：

第一个队列中维护的是最开始的强弱排序，第二个维护的是蛇吃过后的新增的值的强弱排序。

由于两个序列都是有序的（第一部分第三条，第二部分第二条），选最小就取两个队列中最小的，选最大就取两个队列中最大的，还是一样维护就行了。