P15496 题解

P15496 & 模拟赛T4

题意：

有两个元素 \(1\) 和 \(0\) 。定义 \((1>0)=1\) 其他为 \(0\) 。

求出一个由 \(n\) 个未知元素组成的表达式（可以有括号），如 \((x>(x>x))\)

你可以给定一组 \(n\) 个 \(x\) 的取值，如 ( \(1,0,0\) ) ，然后询问表达式的结果。

括号表达式：

括号表达式一般用二叉树表示，叶子节点是元素。如 \((x>(x>x))\) 会被表示为：

如此，我们就需要考虑怎么得到一棵树的形态，通过这个形态我们就可以还原出括号序列。

考虑第 \(i\) 个元素放在哪里：

直接想树的结构没有思路，所以假设我们放置好了前 \(i-1\) 个元素，现在考虑第 \(i\) 个元素放在哪里。

首先，第 \(i\) 个元素肯定是插入在右链上。

所以我们要确定具体是插在右链的哪个位置上。

对于一个查询方案而言，为了更好的确定，那么我们希望右链上左边传过来的值是确定的，即 \(1\) ,如下图中所示。

查询时按右边这种方法填就行了。即右链上每个节点的极左儿子赋为 \(1\) ，其余为 \(0\) 。

我们再将 \(i\) 赋为 \(1\) ，思考一下这样会有什么结果：

我们可以得到点 \(i\) 放置的位置的深度的奇偶性。

这是因为左边的 \(1\) 的个数是确定的， 而直接做上去相当于是每一次合并当前答案都取反（\(0→1/1→0\)）。然后如果插入了 \(i\) ,可能会导致某一步多取反了一次/保持原样（具体和深度奇偶性有关），而这样会导致结果的变化，故可以推出 \(i\) 这个点的深度的奇偶性。

这样当然还是做不了。然后我们进一步想一想如何才能知道 \(i\) 的具体位置呢？

考虑逐个将右链左边传上来的 \(1\) 改为传上来 \(0\) 。

初始状态：（假设蓝色为实际 \(i\) 挂载的位置 ）

改一次后：

改两次后：

改三次后：

注意！ 这里答案变了！

通过多搓几组样例后，我们发现当改掉某个右链节点左边传上来的值后，如果答案变了，那么新增的节点就可以通过一个虚点挂在这个节点下面。如上图。

由于我们已经知道了深度的奇偶性，所以先改变 \(0/1\) 个点，使得奇偶性正确，然后每次改变两个点，然后再询问一次。

这样可以节省一半的查询。

这样由于从底往上遍历，且遍历过的点就不会再用了（不是右链了），所以这部分查询总次数大概是 \(\frac{n}{2}+n\) （最后一次查询无法删掉任何东西，但前面的查询了就没用了可以删掉） 。

每个点还需要查询深度奇偶性一次。向上跳总共 \(\frac{3}{2}n\) 次。所以总共 \(\frac{5}{2} n\) 次，刚好能过。