CF1768F 题解

CF1768F Wonderful Jump 简要题解

题意：

请优化 \(DP\) 转移：

\[dp_i=min(dp_j+\min_{j\le k\le i}(a_k)\cdot (i-j)^2) \]

做法：

一个性质：

首先观察到一个性质：

如果从 \(l\) 跳到 \(r\) 那么，则一定有 \(a_l\) 是区间最小值或 \(a_r\) 是区间最小值， 如图：

直接从 \(l\) 跳到 \(r\) 的代价为：

\[a[k]\cdot (r-l)^2 \]

先从 \(l\) 跳到 \(k\) ，再从 \(k\) 跳到 \(r\) 的贡献为：

\[a[k]\cdot ((k-l)^2+(r-k)^2) \]

显然，后者小于前者。

据此，我们可以优化 \(DP\) 。

优化：

假设当前处理 \(dp_i\) ，考虑从 \(dp_j\) 转移，那么分两类讨论：

• \(a_j\) 为区间最小值

• \(a_i\) 为区间最小值

先考虑前者：

我们可以维护一个单调栈（栈里元素严格递增）。

那么我们用 \(a_i\) 把栈里的一些元素给弹出后，剩下栈里的元素就是可以转移的位置，如图：

然后考虑后者：

这里发现只需要从 \(max(\) 单调栈里的最后一个元素的位置，上一个与 \(a_i\) 相同的元素的位置 \()\) 到 \(i\) 去转移。

到这里整理一下思路：

我们成功的将转移分为了两类， 并对每种情况分别处理了转移。

但目前时间复杂度仍然为 \(O(n^2)\)

对 \(a_i\) 分类讨论：

为了进一步优化，我们有必要将转移划分为以下几组：

• \(i\) 为最小值且 \(a_i\le \sqrt{n}\) :

• \(i\) 为最小值且 \(a_i>\sqrt{n}\)

• \(j\) 为最小值且 \(a_i\le \sqrt{n}\)

• \(j\) 为最小值且 \(a_i>\sqrt{n}\)

第一类：\(i\) 为最小值且 \(a_i\le \sqrt{n}\) ：

那么根据上文所说的，你只需要去枚举 \(j\in [max(\) 单调栈里的最后一个元素的位置，上一个与 \(a_i\) 相同的元素的位置 \()\) \(,i]\) 去转移。

那么对于某个 \(a_i\) ，总的枚举次数是 \(O(n)\) 的。

而由于 \(a_i\le \sqrt{n}\)， 所以总共这样的 \(a_i\) 只有 \(\sqrt{n}\) 个。

第二类：\(i\) 为最小值且 \(a_i> \sqrt{n}\) ：

这里又有一个性质：

如果某个跳跃经过的点的最小值为 \(s\) ，那么这个跳跃的距离不会超过 \(\frac{n}{s}\) 。

证明：

假设跳跃的距离为 \(d\) 。

一个一个跳过去的代价最大值是 \(n\cdot d\) (因为每一次跳跃中的最小值的上限都是 \(n\) )

一次跳过去的代价是 \(s\cdot d^2\) ，如果这个跳跃要最优，那么就需要有：

\[s\cdot d^2<n\cdot d \]

即：

\[d<\frac{n}{s} \]

也就是说由于 \(a_i>\sqrt{n}\) 且 \(a_i\) 是区间最小值，那么上一次跳跃过来的距离就要小于 \(\frac{n}{a_i}< \sqrt{n}\) 。

所以最多只需要枚举 \(\sqrt{n}\) 个点的转移就行了。

第三类：\(j\) 为最小值且 \(a_i\le \sqrt{n}\)

如果 \(j\) 为最小值，那么 \(j\) 是目前单调栈里的元素，此时由于 \(a_i\le \sqrt{n}\) ，所以单调栈里的元素最多 \(\sqrt{n}\) 个。

暴力枚举即可。

第四类：\(j\) 为最小值且 \(a_i>\sqrt{n}\)

• 当 \(a_j\le \sqrt{n}\) ：单调栈里这样的元素只有 \(\sqrt{n}\) 个，暴力枚举即可。

• 当 \(a_j>\sqrt{n}\) ：由于第二类中的一个性质，有跳跃距离要小于 \(\sqrt{n}\) ，那么 \(i-j\le \sqrt{n}\) ，还是只用枚举 \(\sqrt{n}\) 个就够了。

总时间复杂度 \(O(n\sqrt{n})\)