算法设计与分析——整数划分（递归）

参考https://www.cnblogs.com/jinhong123/p/7909689.html

 

n=m1+m2+...+mi; （其中mi为正整数，并且1 <= mi <= n），则{m1,m2,...,mi}为n的一个划分。

如果{m1,m2,...,mi}中的最大值不超过m，即max(m1,m2,...,mi)<=m，则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为q(n,m)；

当n=6时我们可以获得以下这几种划分（注意，例子中m>=6）

 

根据n和m的关系，考虑以下几种情况： 

1. 当n=1时，不论m的值为多少（m>0)，只有一种划分即{1}。因此 q(1,m) =1 。
2. 当m=1时，不论n的值为多少，只有一种划分即n个1，{1,1,1,...,1}。 因此 q(n,1) =1。;
3. 当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况： 
    (1) 划分中包含n的情况，只有一个即{n}； 
    (2) 划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有(n-1)划分。因此 q(n,n) =1 + q(n,n-1)。
4. 当n<m时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当q(n,n)，即q(n,m)=q(n,n)，m>=n。
5. 但n>m时，根据划分中是否包含最大值m，可以分为两种情况： 
    (1) 划分中包含m的情况，即{m, {x1,x2,...xi}}, 其中{x1,x2,... xi} 的和为n-m，可能再次出现m，因此是（n-m）的m划分，因此这种划分个数为q(n-m, m)。
    (2) 划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的(m-1)划分，个数为f(n,m-1)。因此 q(n, m) = q(n-m, m)+q(n,m-1)。

 

综合以上情况，我们可以看出，上面的结论具有递归定义特征，其中（1）和（2）属于回归条件，（3）和（4）属于特殊情况，将会转换为情况（5）。而情况（5）为通用情况，属于递推的方法，其本质主要是通过减小m以达到回归条件，从而解决问题。其递推表达式如下：

 

 

 

public static int q(int n,int m)
    {
       if((n==1)||(m==1))
       {
           return 1;
       }
       else if(n<m)
       {
           return q(n,n);
       }
       else if(n==m)
       {
           return q(n,m-1)+1;
       }
       else
       {
           return q(n,m-1)+q(n-m,m);
       }
       
    }