整数划分问题（递归法）

说明一下问题，什么是整数划分？

• n=m1+m2+...+mi; （其中mi为正整数，并且1 <= mi <= n），则{m1,m2,...,mi}为n的一个划分。
• 如果{m1,m2,...,mi}中的最大值不超过m，即max(m1,m2,...,mi)<=m，则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m);
• 举个例子，当n=5时我们可以获得以下这几种划分（注意，例子中m>=5）

5 = 5 
   = 4 + 1 
   = 3 + 2 
   = 3 + 1 + 1 
   = 2 + 2 + 1 
   = 2 + 1 + 1 + 1 
   = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

 

一、 动态规划解法

根据n和m的关系，考虑以下几种情况： 
1. 当n=1时，不论m的值为多少（m>0)，只有一种划分即{1}; 
2. 当m=1时，不论n的值为多少，只有一种划分即n个1，{1,1,1,...,1}; 
3. 当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况： 
    (1) 划分中包含n的情况，只有一个即{n}； 
    (2) 划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有(n-1)划分。因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1); 
4. 当n<m时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于f(n,n); 
5. 但n>m时，根据划分中是否包含最大值m，可以分为两种情况： 
    (1) 划分中包含m的情况，即{m, {x1,x2,...xi}}, 其中{x1,x2,... xi} 的和为n-m，可能再次出现m，因此是（n-m）的m划分，因此这种划分个数为f(n-m, m); 
    (2) 划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的(m-1)划分，个数为f(n,m-1);因此 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);

 

综合以上情况，我们可以看出，上面的结论具有递归定义特征，其中（1）和（2）属于回归条件，（3）和（4）属于特殊情况，将会转换为情况（5）。而情况（5）为通用情况，属于递推的方法，其本质主要是通过减小m以达到回归条件，从而解决问题。其递推表达式如下：

• f(n, m)= 1; (n=1 or m=1)
• f(n, m)=f(n, n); (n<m)
• 1+ f(n, m-1); (n=m)
• f(n-m,m)+f(n,m-1); (n>m)

 

据此我们获得了动态规划的代码：

 

几个变种：

（一）要求1,2,3,4..,m中每个数只允许使用一次的时？

此时我们需要调整我们的状态转换公式。

f(n-m,m)+f(n,m-1); (n>m) 应该更改为：f(n-m,m-1)+f(n,m-1); (n>m)

为什呢？因为每个数最多使用一次，f(n-m,m-1)表示我们取了数m，f(n,m-1)表示我们没取，但是无论取不取数m我们以后都不会再次取数m了。

当然喽，我们还需要调整边界状态：当m=1时，f(n,m)=1；当n=1而m>1时，f(n,m)=0。

其他不变！

 

（二）要求只能取1,2,3,4,..,m中的奇数？（默认m为奇数，如果不是则m=m-1）

这个呢，我们首先需要调整边界状态：当m=1时，f(n,m)=1；当n=1而m>1时，f(n,m)=0

其次，我们需要调整状态转换公式：

f(n-m,m)+f(n,m-1); (n>m) 应该更改为：f(n-m,m)+f(n,m-2); (n>m)

这是因为我们不能取偶数，故而当m为奇数的时候，m-1为偶数（只能被选择0次），f(n,m-1)=f(n,m-2);

（三）要求我们所取的 （n=m1+m2+...+mi ）中  m1 m2 ... mi连续，比如5=1+4就不符合要求了。

这个的话，需要做一下转换，留待下一篇文章说明

注意，一般而言动态规划算法是用非递归从下往上计算的，上述代码采用递归形式只是为了便于理解，真正实现的话最好采用非递归形式。