CF838D Airplane Arrangements

CF838D Airplane Arrangements

题意

有一架飞机，从前到后有 \(n\) 排座位。将会有 \(m\) 人登上这架飞机。

这架飞机的前面和后面都有一个入口。

每个人都有一个分配的座位。可能会有多个人被分配到同一个座位。人们将一个接一个地登机，从第 \(1\) 个人开始。每个人可以独立选择从前面入口或后面入口进入飞机。

当一个人走进飞机时，他们会直接走到他们分配的座位并尝试坐下。如果座位被占用，他们会继续朝着他们走进来的方向走，直到找到一个空座位——他们会选择第一个找到的空座位。如果他们到达排的尽头仍然没有找到座位，他们会感到愤怒。

找出为乘客分配座位并登机，且没有任何人生气的方案数量。如果存在一个乘客在两种方案中选择了不同的入口，或者分配的座位不同，则这两种方案是不同的。输出这个方案数对 \(10^9 + 7\) 取模的结果。

\(1 \le m \le n \le 1000000\)，分别表示座位的数量和乘客的数量。

思路

做不出来的做法

我们认为座位是从左到右的。

如果直接以每个人分配的座位和选择的方向为状态，感觉非常难算和诡异。

不妨以每个人最终的座位为状态，计算每种状态有多少个方案。

第 \(i\) 个人的最终座位为 \(p_i\) 时，我们依次假如每个人，计算每个人有多少种方案，乘起来。第 \(i\) 个人的方案数只和前 \(i\) 个人的 \(p_i\) 有关，这个性质很优美。

第一个人可以从左/右进入，他分配的座位一定是 \(p_1\)。方案数为 \(2\)。

如果 \(p_2\) 不挨着 \(p_1\)，那么第二个人也可以从左/右进入，他分配的座位一定是 \(p_2\)。方案数为 \(2\)。

第 \(i\) 个人，如果 \(p_i\) 左边连着 \(k\) 个位置已经被占用了，那么他可以从左边进入，分配到 \([p_i-k,p_i]\)。右边同理。

因此得出结论，第 \(i\) 个人的方案数是：设已经被占用的座位里，包含 \(p_i\) 的连续段长度为 \(len\)，方案数为 \(len+1\)。

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我们自然地想要在位置上做。即设 \(q_i\) 表示位置 \(i\) 最后被谁坐了。

要是没人坐，就是被 \(inf\) 坐了。

对排列 \(q\) 建大根的笛卡尔树。

那么位置 \(i\) 的贡献就是 \(siz_i+1\)。\(inf\) 坐的座位不用算贡献。

所以问题转化成数笛卡尔森林的个数，一棵笛卡尔树的权值是 \(\prod siz_u+1\)。

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我们先求一棵笛卡尔树的权值。再拓展到森林。

设 \(f_i\) 表示大小为 \(i\) 的树，所有方案的权值和。这个状态是好转移的，因为转移只需要知道左儿子和右儿子的子树大小。

\[f_0=1\\ f_i = (i+1) \sum_{j=0}^{i-1} f_j f_{i-j-1} \binom{i-1}{j} \]

森林怎么办。

有个限制，整个森林节点数为 \(m\)。（\(inf\) 不算）

考虑生成函数。

不会。

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算 \(f\) 是 \(O(n^2)\) 的。

然后要优化这一坨。

\[f_i = (i+1) (i-1)! \sum_{j=0}^{i-1} \frac{1}{j!} f_j \frac{1}{(i-j-1)!} f_{i-j-1} \]

妈呀，好好看的式子。

不是很会卷积，这个应该可以卷吧。那么一个 NTT 卷完就做完了。

这是一个自己卷自己的类型，参见 FFT 相关。

那么总时间复杂度 \(O(n \log^2 n)\)。

可是 \(10^6\)，\(2s\)，不太能过的样子。

看看题解，有没有不用多项式的做法呢？

怎么全是简洁优美的组合数。还是要学好组合。

这篇题解写得很清楚。

妈呀，怎么这么牛！

转化成每个人随机方向和机票，求方案合法的概率。

发现无从下手。

看成一个环形的座位，从 \(1\) 或 \(n\) 进入，方向是顺时针或者逆时针。在 \(1,n\) 衔接的地方放一个座位 \(0\)。如果有人最终坐到了 \(0\)，方案不合法。

环长为 \(n+1\)，每个人随机分配座位和方向，求最后 \(0\) 没有被占用的概率。

因为每个座位显然是等价的。一个座位被占据的概率是 \(\frac{m}{n+1}\)。所以概率为 \(\text{方案总数} \times \frac{n+1-m}{n+1} = (2(n+1))^m \times \frac{n+1-m}{n+1}\)。

code

CF 题真是思维题。怎么能想到的啊。

#include<bits/stdc++.h>
#define sf scanf
#define pf printf
#define rep(x,y,z) for(int x=y;x<=z;x++)
#define per(x,y,z) for(int x=y;x>=z;x--)
using namespace std;
typedef long long ll;
namespace wing_heart {
    constexpr int N=1e6+7,mod=1e9+7;
    struct modint {
        int x;
        modint (int y=0) : x(y) {}
        modint operator + (modint b) const { return x+b.x<mod ? x+b.x : x+b.x-mod; }
        modint operator * (modint b) const { return 1ll*x*b.x%mod; }
        modint &operator += (modint b) { return *this = *this + b; }
        modint &operator *= (modint b) { return *this = *this * b; }
        modint inv() {
            modint s=1, a=*this;
            int b=mod-2;
            while(b) {
                if(b&1) s*=a;
                a*=a;
                b>>=1;
            }
            return s;
        }
        void write() { pf("%d\n",x); }
    } ans;
    int n,m;
	void main() {
        sf("%d%d",&n,&m);
        ans=n+1-m;
        ans*=(modint){n+1}.inv();
        rep(i,1,m) ans*=n+1, ans+=ans;
        ans.write();
	}
}
int main() {
	#ifdef LOCAL
	freopen("in.txt","r",stdin);
	freopen("my.out","w",stdout);
	#endif
	wing_heart :: main();
}