P4099 [HEOI2013] SAO

P4099 [HEOI2013] SAO

弱化版：P3757 [CQOI2017] 老C的键盘

题意

给你一棵 \(n\) 个点的树，每条边 \((u,v)\) 有一个参数 \(c\) 表示 \(u,v\) 谁必须放在前面。

求有多少种排列，使得所有边都满足条件。

\(n \le 1000\)。

（题意其实对原题做了一丁点转化）

思路

本来想补补 zr2024 B 班的题。然后刚好发现上上周多校杂题选讲也讲了这题。这下不得不补了。

考虑容斥。

我们把 \(1\) 看作根，对于边 \((fa,u)\)，\(c=0\) 表示 \(fa\) 先，\(c=1\) 表示 \(u\) 先。

我们先把所有 \(c=1\) 看作无限制，求方案数，然后减去有一个 \(c=1\) 被钦定成 \(c=0\) 的方案数，然后再加上有两个 \(c=1\) 被钦定成 \(c=0\) 的方案数，以此类推。

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这段做法不够优美，不建议阅读。

考虑再树形 DP 中带上容斥系数。

朴素 DP：

设 \(f_{u,p,s}\) 表示 \(u\) 的子树中，\(u\) 在排列的第 \(p\) 位，有 \(s\) 个 \(c=1\) 被钦定成 \(c=0\) 的方案数。

这样复杂度超了。

我们把这一维改成 \(0/1\) 表示 \(s\) 的奇偶性，也是一样的。

看来上上周的 ppt，我这个是什么杂糅做法，我们还是来一个小清新容斥做法吧。

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我们会外向树拓扑序计数，即父亲的必须在儿子前面：

\[\frac{n!}{\prod_{i=1}^n siz_i} \]

证明：对于随机排列，一个点 \(u\) 有 \(siz_u\) 的概率在它子树的所有点的前面。

那么我们有一些 \(c\) 没有限制，就相当于把原树割成了若干棵外向树。每个连通块计数然后乘起来即可。

所以设 \(f_{u,s,0/1}\) 表示满足 \(u\) 的连通块大小为 \(s\)，钦定 \(c=1\) 变成 \(0\) 的边的奇偶性为 \(0/1\)，\(u\) 的整棵子树的方案数。

事实上不需要 \(0/1\) 那维，转移的时候带上容斥系数就好。

时间复杂度是树形背包复杂度，是 \(O(n^2)\)。

具体怎么转移见代码。

解释一下转移系数：

合并 \(u,v\) 时，子树 \(u,v\) 内部已经有序，所以只需要再乘上组合数 \(\binom{siz_u+siz_v}{siz_v}\)。

但是这样合并完所有儿子之后 \(u\) 所在连通块不一定符合拓扑序。

\(u\) 所在连通块的贡献应该为 \(\frac{s_u!}{\prod s_i}\)。现在它的贡献是啥？合并 \(u,v\) 时会贡献 \(\frac{(s_u+s_v)!}{s_u!s_v!} \times \frac{s_v!}{\prod_{i \in T_v} s_i}\)（\(T_v\) 表示 \(v\) 的连通块的点集）。

合并完所有儿子之后很多都会消掉，剩下 \(\frac{s_u!}{\prod_{i \in T_u \land i \neq u} s_i}\)

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还有直接计数的做法。

设 \(f_{u,x}\) 表示 \(u\) 在子树的拓扑序的第 \(x\) 位。

转移的时候分讨乘上一些组合数。容易做出 \(O(n^3)\) 的时间复杂度。

合并子树 \(u,v\) 时（\(v\) 时 \(u\) 的儿子），分别枚举合并后 \(u\) 的排名 \(p_1\)、合并前 \(u,v\) 的排名 \(p_2,p_3\)。时间复杂度是 \(O(n^3)\) 的。

写出转移方程吧。假设 \(v\) 的拓扑序要在 \(u\) 之前。

\[f'_{u,p_1} = \sum_{p_2} \sum_{p_3 \in [1,p_1-p_2]} f_{u,p_2} f_{v,p_3} \binom{p_1-1}{p_2-1} \binom{siz'_u-p_1}{siz_u-p_2} \]

发现组合数与 \(p_3\) 无关。所以可以变成：

\[f'_{u,p_1} = \sum_{p_2} f_{u,p_2} \binom{p_1-1}{p_2-1} \binom{siz'_u-p_1}{siz_u-p_2} \sum_{p_3 \in [1,p_1-p_2]} f_{v,p_3} \]

前缀和一下，总时间复杂度 \(O(n^2)\)。

\(v\) 的拓扑序要在 \(u\) 之后，是同理的。

code

#include<bits/stdc++.h>
#define sf scanf
#define pf printf
#define rep(x,y,z) for(int x=y;x<=z;x++)
#define per(x,y,z) for(int x=y;x>=z;x--)
using namespace std;
typedef long long ll;
namespace wing_heart {
	#define gc getchar_unlocked
	constexpr int N=1e3+7,mod=1e9+7;
	struct modint {
		int x;
		modint (int _x=0): x(_x) {}
		modint operator + (modint b) const { return x+b.x < mod ? x+b.x : x+b.x-mod; }
		modint operator - (modint b) const { return x+mod-b.x < mod ? x+mod-b.x : x-b.x; }
		modint operator * (modint b) const { return 1ll*x*b.x%mod; }
		modint &operator += (modint b) { return *this = *this + b; }
		modint &operator -= (modint b) { return *this = *this - b; }
		modint &operator *= (modint b) { return *this = *this * b; }
		modint inv () const { 
			int b=mod-2;
			modint s(1),a=*this;
			while(b) {
				if(b&1) s*=a;
				a*=a;
				b>>=1;
			}
			return s;
		}
		void write() const { pf("%d\n",x); }
	};
	int T,n;
	struct pii {
		int v,c;
	};
	vector<pii> son[N];
	int siz[N];
	modint f[N][N],g[N];
	modint fac[N],inv[N],ifac[N];
	modint binom[N][N];
	void clear() {
		rep(i,1,n) son[i].clear();
		memset(f,0,sizeof(f));
	}
	void init() {
		fac[0]={1};
		rep(i,1,n) fac[i]=fac[i-1]*(modint){i};
		ifac[n]=fac[n].inv();
		per(i,n-1,0) ifac[i]=ifac[i+1]*(modint){i+1};
		inv[1]=1;
		rep(i,2,n) inv[i]=inv[mod%i]*(mod-mod/i);
		binom[0][0]=1;
		rep(i,1,n) {
			binom[i][0]=1;
			rep(j,1,n) binom[i][j]=binom[i-1][j-1]+binom[i-1][j];
		}
	}
	void dfs(int u,int fa) {
		f[u][1]={1};
		siz[u]=1;
		for(pii p : son[u]) if(p.v^fa) {
			int v=p.v;
			int op=p.c;
			dfs(v,u);
			memset(g,0,sizeof(g));
			rep(i,1,siz[u]) {
				rep(j,1,siz[v]) {
					if(op) {
						g[i]+=f[u][i]*f[v][j]*binom[siz[u]+siz[v]][siz[v]];
						g[i+j]-=f[u][i]*f[v][j]*binom[siz[u]+siz[v]][siz[v]];
					} else {
						g[i+j]+=f[u][i]*f[v][j]*binom[siz[u]+siz[v]][siz[v]];
					}
				}
			}
			memcpy(f[u],g,sizeof(g));
			siz[u]+=siz[v];
		}
		rep(i,1,siz[u]) f[u][i]*=inv[i];
	}
    void main() {
		sf("%d",&T);
		n=N-7;
		init();
		while(T--) {
			sf("%d",&n);
			clear();
			rep(i,1,n-1) {
				int u,v;
				char c;
				sf("%d",&u);
				++u;
				c=gc();
				while(c!='<' && c!='>') c=gc();
				sf("%d",&v);
				++v;
				if(c=='>') swap(u,v);
				son[u].push_back({v,0}), son[v].push_back({u,1});
			}
			dfs(1,0);
			modint ans={0};
			rep(i,1,n) {
				ans+=f[1][i];
			}
			ans.write();
		}
    }
}
int main() {
    #ifdef LOCAL
    freopen("in.txt","r",stdin);
    freopen("my.out","w",stdout);
    #endif
    wing_heart :: main();
}