多项式基础

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多项式计算基础

微积分基础

导数公式：

\[\begin{aligned} (x^a)' & = a x^{a-1}\\ (e^x)' & = e^x\\ (a^x)' & = a^x \ln a\\ (\ln x)' & = \frac{1}{x}\\ (\log_a x)' & = \frac{1}{x \ln a}\\ (\sin x)' & = \cos x\\ (\cos x)' & = - \sin x\\ \end{aligned} \]

乘积法则：

\[(A(x)\cdot B(x))' = A'(x)B(x) + A(x)B'(x) \]

商的求导法则：

\[(\frac{A(x)}{B(x)})' = \frac{A'(x)B(x) - A(x)B'(x)}{B^2(x)} \]

链式法则：

\[\frac{d}{dx} A(B(x)) = A'(B(x)) \cdot B'(x) \]

更多（来自 deepseek）

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以下是微积分中最常用的导数公式列表，涵盖基本函数、运算规则和常见复合形式。建议收藏备用：

一、基本初等函数的导数公式

函数	导数公式
\( C \)（常数）	\( 0 \)
\( x^n \)（幂函数）	\( n x^{n-1} \)
\( e^x \)	\( e^x \)
\( a^x \)	\( a^x \ln a \)
\( \ln x \)	\( \frac{1}{x} \)
\( \log_a x \)	\( \frac{1}{x \ln a} \)
\( \sin x \)	\( \cos x \)
\( \cos x \)	\( -\sin x \)
\( \tan x \)	\( \sec^2 x = 1 + \tan^2 x \)
\( \cot x \)	\( -\csc^2 x \)
\( \sec x \)	\( \sec x \tan x \)
\( \csc x \)	\( -\csc x \cot x \)
\( \arcsin x \)	\( \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)
\( \arccos x \)	\( -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)
\( \arctan x \)	\( \frac{1}{1+x^2} \)
\( \operatorname{arccot} x \)	\( -\frac{1}{1+x^2} \)

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二、导数的运算法则

设 \( u = u(x) \), \( v = v(x) \) 可导，\( c \) 为常数：

1. 线性法则
   \( (cu \pm v)' = c u' \pm v' \)

2. 乘法法则
   \( (u \cdot v)' = u' v + u v' \)

3. 商法则
   \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u' v - u v'}{v^2} \quad (v \neq 0) \)

4. 链式法则（复合函数）
   \( \frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)

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三、常用组合函数的导数

函数	导数公式
\( e^{ax} \)	\( a e^{ax} \)
\( \ln(kx) \)	\( \frac{1}{x} \)
\( \sin(ax + b) \)	\( a \cos(ax + b) \)
\( \cos(ax + b) \)	\( -a \sin(ax + b) \)
\( \tan(ax) \)	\( a \sec^2(ax) \)
\( \sqrt{x} \)	\( \frac{1}{2\sqrt{x}} \)
\( \frac{1}{x^n} \)	\( -\frac{n}{x^{n+1}} \)
\( u^v \)（幂指函数）	\( u^v \left( \frac{v u'}{u} + \ln u \cdot v' \right) \)

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四、高阶导数公式（二阶导数）

函数	二阶导数
\( \sin x \)	\( -\sin x \)
\( \cos x \)	\( -\cos x \)
\( e^{ax} \)	\( a^2 e^{ax} \)
\( \ln x \)	\( -\frac{1}{x^2} \)
\( x^n \)	\( n(n-1) x^{n-2} \)

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五、特殊技巧与提示

1. 隐函数求导
   对 \( F(x, y) = 0 \) 两边同时求导，解出 \( \frac{dy}{dx} \)（例如：\( x^2 + y^2 = 1 \implies 2x + 2y y' = 0 \)）。

2. 参数方程求导
   若 \( \begin{cases} x = x(t) \ y = y(t) \end{cases} \)，则 \( \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} \)。

3. 对数求导法
   对复杂函数 \( y = f(x) \) 两边取对数再求导（尤其适用于幂指函数 \( y = u^v \)）。

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六、应用实例

1. 例 1：求 \( y = e^{2x} \cos x \) 的导数
   乘积法则：
   \( y' = 2e^{2x} \cos x + e^{2x} (-\sin x) = e^{2x} (2 \cos x - \sin x) \)

2. 例 2：求 \( y = \ln(\sin x^2) \) 的导数
   链式法则（3 层）：
   \( y' = \frac{1}{\sin x^2} \cdot \cos x^2 \cdot 2x = 2x \cot x^2 \)

3. 例 3：求 \( y = \sqrt{\frac{x}{x+1}} \) 的导数
   链式法则 + 商法则：
   \( y' = \frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{x+1}}} \cdot \frac{(x+1) - x}{(x+1)^2} = \frac{1}{2(x+1)\sqrt{x(x+1)}} \)

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建议：掌握上述公式后，结合大量练习巩固理解。遇到复杂函数时，先识别结构（乘积/商/复合），再选择对应法则分步求解。

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插值

Lagrange 拉格朗日插值法

给你 \(n\) 个点值 \((x_i,y_i)\)，求插值，即求一个 \(n-1\) 次多项式 \(f(x)\) 的系数 \(\{f_i\}\)，使得 \(\forall i\in [1,n], f(x_i)=y_i\)。

O(n^2) 插值

结论是：

\[f(x) = \sum_{i=1}^n y_i \prod_{j\neq i} \frac{x-x_j}{x_i-x_j} \]

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考虑构造：

\[f_i(x)= \begin{cases} y_i, x=x_i\\ 0, x \not = x_i \end{cases}\\ \]

因此：

\[f(x) =\sum_{i=1}^n f_i(x) \]

如何构造 \(f_i(x)\)？可以：

\[f_i(x) = \frac{y_i}{\prod_{j\not = i} (x_i - x_j)} \cdot \prod_{j \not = i} (x-x_j) \]

然后就有结论了：

\[f(x) = \sum_{i=1}^n y_i \prod_{j\neq i} \frac{x-x_j}{x_i-x_j} \]

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如果要求多次点值，需要简单预处理一下：

\[\begin{aligned} f(x)& = \sum_{i=1}^n \frac{y_i}{\prod_{j \not = i} (x_i-x_j)} \cdot \prod_{j\not = i}(x-x_j)\\ & =\sum_{i=1}^n s_i \cdot \prod_{j\not = i}(x-x_j)\\ & = \sum_{i=1}^n s_i \cdot \prod_{j=1}^{i-1} (x-x_j) \cdot \prod_{j=i+1}^n (x-x_j)\\ & = \sum_{i=1}^n s_i \cdot pre_{i-1} \cdot nxt_{i+1}\\ \end{aligned} \]

其中 \(pre_i,nxt_i\) 每次求点值都要 \(O(n)\) 预处理，然后再求。

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如果非要求出系数怎么办？

暴力算多项式乘法即可。

\[\begin{aligned} f(x) = \sum_{i=1}^n( y_i \prod_{j\neq i} \frac{1}{x_i-x_j} \cdot \prod_{j \not = i} (x-x_j))\\ \end{aligned} \]

其中 \(y_i \prod_{j\neq i} \frac{1}{x_i-x_j}\) 是常数。