NODSX2304B. 抽卡

NODSX2304B. 抽卡

题意

改个名字，Alice 和 Bob 在玩游戏……

有 \(n \le 15\) 个数字，每次玩家随机选择至多 \(m\) 个数，然后扔掉个数字。Alice 先手。Alice 会尽量使扔掉的权值和最大，Bob 希望尽量小。问最终权值是什么。

首先如果存在 \(m\) 张一定选 \(m\) 张，否则全选。然后想不到贪心解法。

注意到 \(n\) 很小，于是我们枚举子集，考虑 DP 转移。

设 \(f_{A/B,S}\) 表示这轮到谁，子集为 \(S\)，的权值。转移比较显然。

\[f_{A,S}= \frac{1}{\binom {|S|}{\min (|S|,m)}} \sum \max(f_{B,S/mx}+a_{mx},f_{B,S})\\ f_{B,S}= \frac{1}{\binom {|S|}{\min (|S|,m)}} \sum \min(f_{A,S/mn}+a_{mn},f_{A,S})\]

其中 \(mx\) 表示目前枚举的随机选择的情况，选中的最大数字的下标。\(mn\) 就是最小。

然后你发现这玩意有个 \(\max , \min\) 十分地恶心。考虑枚举 \(mx,mn\)，计算满足 \(mx,mn\) 合法的方案数，来讨论。

对 \(a_i\) 排序，以 \(f_A\) 的转移为例。

若 \(mx=i\)，则我们钦定选定 \(i\)，然后在 \(1\sim i-1\) 里面随机选择 \(m\) 个或者不够就 \(i-1\) 个数字的方案数，设为 \(k_i\)。然后加上 \(k_i \max(f_{B,S/mx}+a_{mx},f_{B,S})\)。

我们把 \(f_{B,S/mx}\) 看做已知。相当于解方程：

设 \(A=f_{A,S},B=f_{B,S}\)。

\[A=(一坨binom) \sum_i k1_i \max(B'+a_i,B)\\ B=(一坨binom) \sum_i k2_i \min (A'+a_i,A)\]

这玩意还是有 \(\max,\min\)。

注意到题目只要我们输出浮点数，不用取模，所以一个部分分是直接枚举所有可能的 \(B\)，然后代入方程判是否合法。

如果我们知道 \(A\) 和 \(A'+a_i\)，\(B\) 和 \(B'+a_i\) 的大小关系，这个方程就是 \(i\) 的一堆前缀取常量，剩下取 \(A,B\)。

枚举这个大小关系，只有 \(O(n^2)\)，完全可以啊。

然后枚举，每次 \(O(1)\) 解方程即可。

题解有一种方法是，部分分是枚举 \(B\)，代入式 \(1\) 可以求出 \(A\)，然后代入式 \(2\) 可以求出 \(B''\)，如果 \(B''=B\) 这个 \(A,B\) 就是答案。观察到 \(B''-B\) 的值随着 \(B\) 的增大是单调的，因此二分 \(B\) 找到 \(B''-B=0\) 的位置。注意掉精度问题，因此判相等就是相差小于 \(1e-7\) 左右。