组合数学

组合数学

卡特兰数

卡特兰数对应的序列为 \(1,1,2,5,14,42,132\cdots\)

递归定义：\(C_0=C_1=1,C_n=\sum_{i=0}^{n-1} C_i C_{n-i-1}(n\ge 2)\)

通项公式：\(C_n=\binom{2n}{n}-\binom{2n}{n-1}=\frac{(2n)!}{n!(n+1)!}\)

应用：

括号序列：\(n\) 个 (，\(n\) 个 )，形成长度为 \(2n\) 的合法括号序列，方案数为 \(\binom{2n}{n}-\binom{2n}{n-1}\)。

证明如下：设 \(f_i\) 表示长度为 \(2i\) 的合法括号序列个数，序列第 \(1\) 位一定是 (，因为序列合法，与第一个 ( 匹配的 ) 一定在位置 \(2j\)，因为它们之间一定有偶数个括号，枚举与第一个 ( 相匹配的 )，把序列分成括号对内和括号对右边两部分，答案加上这两部分方案数的乘积。得到转移方程 \(f_i=\sum_{j=0}^{i-1}f_jf_{i-j-1}\)，符合卡特兰数的递归定义，证毕。

经验

Split and Maximize

Unhappy Hacking

Natasha, Sasha and the Prefix Sums

Balanced Subsequences

斯特林数

第二类斯特林数

定义

\[n \brace k \]

表示把 \(n\) 个有序号的数分成 \(k\) 个无序号的组里面，每个组非空的方案数。

递推式：

\[{n \brace k} = {n-1 \brace k-1} + k{n-1 \brace k} \]

加入第 \(n\) 个数时，它可以自己新建一组，贡献为 \(n-1 \brace k-1\)。也可以加入原来的任意一组里面，贡献为 \(k {n-1 \brace k}\)。

边界是 \({n \brace 0} = [n=0]\)。

它还有通项公式，但是我不会。

容斥原理

min-max 容斥

参考 OI-Wiki。

\(S,T\) 均是集合。

\[\max \{S\} = \sum_{T \subseteq S} (-1)^{|T|-1} \min\{T\} \\ \min \{S\} = \sum_{T \subseteq S} (-1)^{|T|-1} \max\{T\} \]

解释第一条，第二条同理。

\(S\) 中最大的数，就是所有数的和，减去两两数较小者，再加上多减的，以此类推容斥。

这个东西在期望上也是成立的，即：

\[E(\max \{S\}) = \sum_{T \subseteq S} (-1)^{|T|-1} E(\min\{T\}) \\ E(\min \{S\}) = \sum_{T \subseteq S} (-1)^{|T|-1} E(\max\{T\}) \]

不会证明，咕掉。

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还有 kth max-min 容斥：

\[\text{kthmax} \{S\} = \sum_{T \subseteq S} (-1)^{|T|-k} \binom{|T|-1}{k-1} \min\{T\}\\ \text{kthmin} \{S\} = \sum_{T \subseteq S} (-1)^{|T|-k} \binom{|T|-1}{k-1} \max\{T\}\\ E(\text{kthmax} \{S\}) = \sum_{T \subseteq S} (-1)^{|T|-k} \binom{|T|-1}{k-1} E(\min\{T\})\\ E(\text{kthmin} \{S\}) = \sum_{T \subseteq S} (-1)^{|T|-k} \binom{|T|-1}{k-1} E(\max\{T\}) \]

不会证，咕掉。

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根据 min-max 容斥，还可以得到 \(\gcd,\text{lcm}\) 的反演式子（根据豆包，反演就是用一个量的表达式推导出另一个量的表达式）：

\[\text{lcm} \{S\} = \prod_{T \subseteq S} \gcd\{T\}^{(-1)^{|T|-1}}\\ \gcd \{S\} = \prod_{T \subseteq S} \text{lcm}\{T\}^{(-1)^{|T|-1}}\\ \]

期望上也是成立的吗？

豆包说不成立。我认为是因为 min-max 容斥容的是 \(\gcd,\text{lcm}\) 的每个质因数的指数。所以在期望上不成立？具体我不太理解。