hdu春季集训2025(1)-1003 矩阵树定理+行列式

题解：生成树期望方案数与拉格朗日插值

题意

给定 n 个点的无向图，图中有些边以概率 p 出现。问生成树方案数的期望。有 q 次询问，每次询问不同的 p。

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解法分析

生成树期望方案数

• 无向图的生成树方案数可以用矩阵树定理求解。
• 求期望生成树数时，一棵树出现的概率是其所有边权的乘积。
• 所有生成树的边权乘积之和，就是所求的期望。
• 这正好等于矩阵树定理里，拉普拉斯矩阵的一个代数余子式的值。

拉普拉斯矩阵的构建

对于一条边 (u, v, w)：

• A[u][u] += w
• A[u][v] -= w

构建好拉普拉斯矩阵后，其任意一个 n-1 阶主子式的行列式就是所有生成树的边权乘积之和。

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多询问的优化

• 有 q 次询问，不能每次都高斯消元。
• 注意到这个代数余子式是关于 p 的 n-1 次多项式。
• 可以预处理出这个多项式在 x = 0, 1, ..., n-1 时的值 y。

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拉格朗日插值法

对于最高次数为 n 的多项式，只要有 n+1 个 (x, f(x))，就能唯一确定这个多项式。

插值多项式的表达式如下：

P(x) = y_0 * L_0(x) + y_1 * L_1(x) + ... + y_k * L_k(x)
其中
L_i(x) = ∏_{m=0, m≠i,m<=k} (x - x_m) / (x_i - x_m)

即

P(x) = ∑_{j=0,j<=k} [ y_j * ∏_{m=0, m≠j,m<=k} (x - x_m) / (x_j - x_m) ]

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总结

1. 构建拉普拉斯矩阵，用矩阵树定理求所有生成树边权乘积之和。
2. 预处理多项式值，用高斯消元算出 p = 0, 1, ..., n-1 时的所有结果。
3. 对于每次询问，直接用拉格朗日插值求出对应 p 下的期望生成树方案数。

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以上就是本题的思路与方法。