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今天看到一道题：  可能有强神一眼秒了．初见此题时，没什么思路．而后发现有 $O$、$C$、$E$、$D$ 四点共圆且 $OE$ 为直径，于是想到证 $EM \perp 阅读全文
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拉格朗日中值定理：若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 上可微，则在 $(a, b)$ 中必有一点 $\xi$ 使得 $f'(\xi) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$． 几何意义：若函数在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 阅读全文
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还有一周多一天就比赛了，前年太菜了，没写游记，今年打算写一下。 Day -? 2022/10/21 早上看了下日期，我草，怎么还有一周就比赛了，赶紧起来学点新东西。 准备补ZR的题。有一题讲到了平衡树维护动态区间，但是还不会，于是去学了一下，结果不知道怎么就开摆了，下午才学会，调文艺平衡树调了半天。 阅读全文
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我们先回顾一下逆序对问题： P1908 逆序对 在本题中，我们需要求所有 $i < j$ 且 $a_i > a_j$ 的对数。我们一般有两种方法：一种是树状数组求解，一种是归并求解。其实，令 $a_i = i$，$b_i =$ 输入的数字，本题实际上就是求满足 $a_i < a_j$ 且 $b_i 阅读全文
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我们回顾一下最小与最大生成树的性质： 对于一张图的最小生成树，原图中任意两个节点中任意一条路径的边权最大值的最小值为生成树中节点路径间边权的最大值。最大生成树则相反，原图中任意两个节点中任意一条路径的边权最小值的最大值为生成树中节点路径间边权的最小值。 以下以最小生成树为例，最大生成树则同理。 回顾 阅读全文
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树上莫队本质上是把树上的结点转化为区间信息，从而使用莫队求解。但是不能直接使用树链剖分的 $\text{dfs}$ 序，因为树上任意一条路径所对应的区间不是连续的。此处需要用到欧拉序。欧拉序即为一个结点入队时将其加到序列里，出队时再加入一次（所以序列的总长度是结点数 $\times 2$，每个结点恰 阅读全文
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排序不等式：设 $a_1 \leq a_2 \leq ... \leq a_n, b_1 \leq b_2 \leq ... \leq b_n$，$P$ 是 ${1, 2, ..., n}$ 的一个排列，则有 $$ \displaystyle\sum_{i = 1}^n a_ib_{n - i + 阅读全文
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看到具体数学上面写了就手推一下 定义： $$ f(x) = \alpha_x (1 \leq x < a), $$ $$ f(ax + l) = bf(x) + \beta_l (0 \leq l < a, x \geq 1) $$ 求证： $$ f((c_m c_{m - 1} ... c_1 c 阅读全文
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$$ n = \displaystyle\sum_{d \mid n} \varphi(d) $$ 证明： $$ \forall n \in \mathbb{N}+, f(x) = \displaystyle\sum{i = 1}^n [\gcd(i, n) = x] $$ $$ \because 阅读全文
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对于一个二次函数 \(f(x) = ax^2 + bx + c\)，积分得 \(F(x) = \displaystyle\int_0^x f(t) \, \mathrm{d}t = \dfrac{a}{3}x^3 + \dfrac{b}{2}x^2 + cx + C\)。 于是 \[\display 阅读全文