摘要：
我们回顾一下最小与最大生成树的性质： 对于一张图的最小生成树，原图中任意两个节点中任意一条路径的边权最大值的最小值为生成树中节点路径间边权的最大值。最大生成树则相反，原图中任意两个节点中任意一条路径的边权最小值的最大值为生成树中节点路径间边权的最小值。 以下以最小生成树为例，最大生成树则同理。 回顾 阅读全文
posted @ 2022-10-16 23:48
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摘要：
树上莫队本质上是把树上的结点转化为区间信息，从而使用莫队求解。但是不能直接使用树链剖分的 $\text{dfs}$ 序，因为树上任意一条路径所对应的区间不是连续的。此处需要用到欧拉序。欧拉序即为一个结点入队时将其加到序列里，出队时再加入一次（所以序列的总长度是结点数 $\times 2$，每个结点恰 阅读全文
posted @ 2022-10-16 23:47
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摘要：
排序不等式：设 $a_1 \leq a_2 \leq ... \leq a_n, b_1 \leq b_2 \leq ... \leq b_n$，$P$ 是 ${1, 2, ..., n}$ 的一个排列，则有 $$ \displaystyle\sum_{i = 1}^n a_ib_{n - i + 阅读全文
posted @ 2022-10-16 23:46
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摘要：
看到具体数学上面写了就手推一下 定义： $$ f(x) = \alpha_x (1 \leq x < a), $$ $$ f(ax + l) = bf(x) + \beta_l (0 \leq l < a, x \geq 1) $$ 求证： $$ f((c_m c_{m - 1} ... c_1 c 阅读全文
posted @ 2022-10-16 23:46
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摘要：
$$ n = \displaystyle\sum_{d \mid n} \varphi(d) $$ 证明： $$ \forall n \in \mathbb{N}+, f(x) = \displaystyle\sum{i = 1}^n [\gcd(i, n) = x] $$ $$ \because 阅读全文
posted @ 2022-10-16 23:45
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摘要：
对于一个二次函数 \(f(x) = ax^2 + bx + c\)，积分得 \(F(x) = \displaystyle\int_0^x f(t) \, \mathrm{d}t = \dfrac{a}{3}x^3 + \dfrac{b}{2}x^2 + cx + C\)。 于是 \[\display 阅读全文
posted @ 2022-10-16 23:30
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