十二重计数法

P5824 十二重计数法

\(\text{I}\)：球之间互不相同，盒子之间互不相同。

\[m^n \]

\(\text{II}\)：球之间互不相同，盒子之间互不相同，每个盒子至多装一个球。

选出 n 个要放球的盒子，然后给乘上 n 的排列 \(\binom mnn!\).

\(\text{III}\)：球之间互不相同，盒子之间互不相同，每个盒子至少装一个球。

斯特林数，然后给盒子标号 \({n\brace m}m!\)

\(\text{IV}\)：球之间互不相同，盒子全部相同。

枚举非空盒子数量 \(\sum_i{n\brace i}\)

\(\text{V}\)：球之间互不相同，盒子全部相同，每个盒子至多装一个球。

依次给盒子放数，每个数都恰好在一个盒子里，居然就是 \([n\le m]\).

\(\text{VI}\)：球之间互不相同，盒子全部相同，每个盒子至少装一个球。

\(n\brace m\)

\(\text{VII}\)：球全部相同，盒子之间互不相同。

（最简单的东西最容易搞忘qwq）插板法 \(\binom {n+m-1}{m-1}\)

\(\text{VIII}\)：球全部相同，盒子之间互不相同，每个盒子至多装一个球。

选 n 个盒子放球 \(\binom nm\)

\(\text{IX}\)：球全部相同，盒子之间互不相同，每个盒子至少装一个球。

还是插板法 \(\binom {n-1}{m-1}\)，因为没有空，前后两个位置不能插板，不要写成 \(n+1\) 了

\(\text{X}\)：球全部相同，盒子全部相同。

拆分数，用 Ferrers 转化后有 \(\exp\sum_k^m\sum_{i=1}\dfrac {x^{ik}}i\)，详见

\(\text{XI}\)：球全部相同，盒子全部相同，每个盒子至多装一个球。

竟然球相不相同是一样的！\([n\le m]\).

\(\text{XII}\)：球全部相同，盒子全部相同，每个盒子至少装一个球。

两个理解，

1. 至多 m 个个数减去至多 m - 1 个
2. 每个盒子先放一个球，就是 n - m 个球的 \(\text{X}\) 题

感觉这个没有写代码的必要性，咕咕咕。