中国剩余定理&拓展中国剩余定理

前置知识：exgcd

exgcd：用于解不定方程 \(ax+by = c\) ，可以证明，只有在 c 是 \(\gcd(a,b)\) 倍数的时候才有解。

中国剩余定理（CRT）：

条件：(所有p互质）
题目：
x = y1(mod p1)
x = y2(mod p2)
…………
x = yn(mod pn)
令 M = \(\prod\)p，\(m_i\) = M / \(p_i\)
x = \(\sum_{i=1}^n y_i * m_i * m_i^{p_i-2} + K*M\) (K是任意数，x有无数个）

如果 p 都是质数，逆元可以直接用费马小定理求。

如果 p 不都是质数，只是两两互质，逆元用 exgcd 求。

拓展中国剩余定理（exCRT）：

对 p 没有任何限制。但是此时不一定有解。

例如：

\[\left\{\begin{matrix} x\equiv2 \bmod 4\\ x\equiv3 \bmod 6 \end{matrix}\right. \]

你要是算出一组解来 我请你抽烟。exCRT 还具有检验方程是否有解的能力。

考虑只要能一个一个地去合并方程，就可以搞出答案。

考虑合并这两个方程：

\[\left\{\begin{matrix} x\equiv r_1 \bmod m_1\\ x\equiv r_2 \bmod m_2 \end{matrix}\right. \]

\[\left\{\begin{matrix} x = r_1 + k_1 * m_1\\ x = r_2 + k_2 * m_2 \end{matrix}\right. \]

上下相减：

\[k_1 * m_1 - k_2 * m_2 = r_2 - r_1 \]

用 exgcd 解方程即可得到 \(k_1,k_2\),可以搞出一个 \(x_0\) ，通解是 \(x = x_0 + k*lcm(m_1,m_2)\)，所以合并出来的方程就是 \(x\equiv x_0 \bmod lcm(m_1,m_2)\).

写代码小心爆 long long。

模板：P4777 【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT） - 洛谷。

例题：[P4621 COCI 2012/2013 #6] BAKTERIJE - 洛谷。