欧几里得算法

欧几里得（辗转相除）算法

最大公因数gcd求法（辗转相除法）

易得：\(\gcd(a, b) = \gcd(a − b, b)\)。

多减几次得：\(gcd(a, b) = gcd(a \% b, b)\)

对于边界 \(a = 0\)，此时的 \(b\) 即是最大公约数。

int gcd(int a, int b) {
    return !b ? a : gcd(b, a%b);
}

exgcd（拓展欧几里得算法）

此算法可用于解不定方程和求非质数意义下的逆元）:

方程：ax + by = c (a,b,c均为整数，求x，y的整数解）
核心思路：在求gcd的末状态求出\(x_末，y_末\)，又因为有个天才脑洞大开发现可以顺着gcd递归回去，于是可以求出一组x，y的特解，再找通解的表达。

具体做法：
当c 不是 gcd（a,b) 的倍数，时无x，y整数解。（裴蜀定理）
否则：ax + by = k * gcd，可先求出x/k，y/k
gcd末状态：
a = gcd， b = 0。此时\(x_末 = 1, y_末随机取\)
gcd的转移方法是:ax + by = gcd = bx' + (a - \({\lfloor a / b \rfloor}\) * b)*y';(gcd的递归转移)
整理一下：y = x' - \({\lfloor a / b \rfloor}\) * y', x = y'
递归回去可得一组x/k，y/k的整数解， 再乘上k就是一组x，y的特解

接下来就是求通解：
先令有解{x1,y1}{x2,y2}

\(ax_1 + by_1 = c\)
\(ax_2 + by_2 = c\)
\(∴a(x_1 - x_2) = b(y_2 - y_1)\)
\(两边同除gcd(a,b)，得a'(x_1 - x_2) = b'(y_2 - y_1)，此时a'与b'互质\)
\(∴(x_1 - x_2) = k * b', (y_2 - y_1) = k * a'\)
整理一下：\(x_1 = k * b' + x_2，y_1 = y_2 - k * a'（k为任意, x_2,y_2为特解，x_1,y_1为通解)\)
代码：

void exgcd(long long a, long long b){
	if(b == 0) {
		x = 1, y = 0;
		gcd = a;
		return ;
	}
	exgcd(b, a % b);
	tmp = x, x = y, y = tmp - (a/b) * y;
}

用 \(exgcd\) 求逆元：\(ax = 1 (\bmod p) => ax = 1 + pk => ax - pk = 1\)，然后解不定方程。

类欧几里得算法

给定 \(n, a, b, c\) ，分别求

\[\sum_{i=0}^{n}\left\lfloor \frac{ai+b}{c} \right\rfloor\,,\ \sum_{i=0}^{n}{\left\lfloor \frac{ai+b}{c} \right\rfloor}^2\,,\ \sum_{i=0}^{n}i\left\lfloor \frac{ai+b}{c} \right\rfloor \]

先求第一个，后面两个的思路类似于第一个。为了方便，我们定义：

\[f(a,b,c,n)=\sum_{i=0}^{n}\left\lfloor \frac{ai+b}{c} \right\rfloor\ \]

整体思路：如果 \(a>c\) 或 \(b>c\)，把 \(f(a,b,c,n)\) 转换成 \(f(a\bmod c,b\bmod c,c,n)\)，否则转化成类似于 \(f(c,c-b-1,a,m)\) 的形式。

具体做法：

对于 \(a\ge c\) 或 \(b\ge c\) 时：

\[\begin{aligned} f(a,b,c,n)&=\sum_{i=0}^n\left\lfloor \frac{ai+b}{c} \right\rfloor\\ &=\sum_{i=0}^n\left\lfloor \frac{\left(\left\lfloor\frac{a}{c}\right\rfloor c+a\bmod c\right)i+\left(\left\lfloor\frac{b}{c}\right\rfloor c+b\bmod c\right)}{c}\right\rfloor\text{这一步是关键}\\ &=\frac{n(n+1)}{2}\left\lfloor\frac{a}{c}\right\rfloor+(n+1)\left\lfloor\frac{b}{c}\right\rfloor+ \sum_{i=0}^n\left\lfloor\frac{\left(a\bmod c\right)i+\left(b\bmod c\right)}{c} \right\rfloor\\ &=\frac{n(n+1)}{2}\left\lfloor\frac{a}{c}\right\rfloor +(n+1)\left\lfloor\frac{b}{c}\right\rfloor+f(a\bmod c,b\bmod c,c,n) \end{aligned} \]

对于 \(a,b < c\)，

\[\begin{aligned} f(a,b,c,n) &= \sum^n_{i=0}\sum^{\left\lfloor \frac{ai+b}{c} \right\rfloor-1}_{j=0} 1\\ &=\sum^{\left\lfloor \frac{an+b}{c} \right\rfloor-1}_{j=0}\sum^n_{i=0}[j \le \left\lfloor \frac{ai+b}{c} \right\rfloor - 1] \end{aligned} \]

转化右边的式子：

\[\begin{aligned} j\le\left\lfloor \frac{ai+b}{c} \right\rfloor -1 &\iff j+1\leq \left\lfloor \frac{ai+b}{c} \right\rfloor \iff j+1\leq \frac{ai+b}{c}\\ &\iff jc+c\le ai+b \iff jc+c-b-1< ai\\ &\iff \left\lfloor\frac{jc+c-b-1}{a}\right\rfloor< i \end{aligned} \]

为了方便表示，令 \(m=\left\lfloor \frac{an+b}{c} \right\rfloor\)，则

\[\begin{aligned}f(a,b,c,n)&=\sum_{j=0}^{m-1}\sum_{i=0}^n\left[i>\left\lfloor\frac{jc+c-b-1}{a}\right\rfloor \right]\\&=\sum_{j=0}^{m-1}(n-\left\lfloor\frac{jc+c-b-1}{a}\right\rfloor)\\&=nm-f\left(c,c-b-1,a,m-1\right)\end{aligned} \]

递归即可。\(O(n\log n)\)

对于

\[g(a,b,c,n) = \sum_{i=0}^{n}i{\left\lfloor \frac{ai+b}{c} \right\rfloor}\\ h(a,b,c,n) = \sum_{i=0}^{n}{\left\lfloor \frac{ai+b}{c} \right\rfloor}^2 \]

同样的做法，可以得到：

对于 $ a\ge c$ 或 \(b\ge c\)

\[g(a,b,c,n) =g(a\bmod c,b\bmod c,c,n)+\left\lfloor\frac{a}{c}\right\rfloor\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\left\lfloor\frac{b}{c}\right\rfloor\frac{n(n+1)}{2}\\ \]

\[\begin{aligned} h(a,b,c,n) &=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\left\lfloor\dfrac{a}{c}\right\rfloor^2+(n+1)\left\lfloor\frac{b}{c}\right\rfloor^2+n(n+1)\left\lfloor\dfrac{a}{c}\right\rfloor\left\lfloor\frac{b}{c}\right\rfloor\\ &\ \ \ \ +2\left\lfloor\dfrac{a}{c}\right\rfloor g(a\bmod c,b\bmod c,c,n)+2\left\lfloor\dfrac{b}{c}\right\rfloor f(a\bmod c,b\bmod c,c,n)\\ &\ \ \ \ +h(a\bmod c,b\bmod c,c,n) \end{aligned} \]

否则：

\[g(a,b,c,n) = \frac{1}{2}[mn(n+1)-h(c,c-b-1,a,m-1)-f(c,c-b-1,a,m-1)]\\ h(a,b,c,n) = m(m+1)n-2f(c,c-b-1,a,m-1)-2g(c,c-b-1,a,m-1)-f(a,b,c,n) \]

其中 \(m=\left\lfloor \frac{an+b}{c} \right\rfloor\).

吐槽一下：这玩意写起来是真史，要是不给我公式要我手推出来写代码，不知道得调到什么时候。