周考19
17.已知函数\(f (x) = \ln (x + 1) - \frac{x}{x + 1}\).
(1)求\(f (x)\)的单调区间;
(2)求曲线\(y = f (x)\)在点\((1, f (1))\)处的切线方程.
解:(1)函数\(f (x) = \ln (x + 1) - \frac{x}{x + 1}\), \quad\(f' (x) = \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{(x + 1)^2}\),
由\(f' (x) > 0 \Rightarrow x > 0\); 由\(f' (x) < 0 \Rightarrow - 1 < x < 0\);
所以\(f (x)\)的单调增区间为(0,+{\infty}),单调减区间为\((- 1, 0) .\)
(2)\(f' (x) = \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{(x + 1)^2}\),
当\(x = 1\)时, \(f' (1) = \frac{1}{4}\)得切线的斜率为\(\frac{1}{4}\),
所以\(k = \frac{1}{4}\);
所以曲线在点\((1, f (1))\)处的切线方程为:
\(y - \ln 2 + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \times (x - 1)\), 即$x - 4 y + 4 \ln 2
- 3 = 0$,
故切线方程为 \(x - 4 y + 4 \ln 2 - 3 = 0.\)
解析
(1)先求出函数的定义域, 再求出函数的导数和驻点,
然后列表讨论, 求函数的单调区间和极值.
(2)欲求在点处的切线方程, 只须求出其斜率的值即可,
故先利用导数求出在处的导函数值, 再结合导数的几何
意义即可求出切线的斜率.从而问题解决.
18.已知\(x, y\)都是正实数, 且\(x + y - 3 x y + 5 = 0\).
(I)求\(x y\)的最小值; (II)求\(x + y\)的最小值
解(I)由题意知：\(x + y = 3 x y - 5\)
由于\(x, y\)均为正实数，
所以\(x + y > 0\) ,\(x y > 0\)
由于\(x + y \geqslant 2\){\sqrt{\(x y\)}}, 所以\(3 x y - 5 \geqslant 2 \sqrt{x y}\)
令\(\sqrt{x y} = a\), 则有\(3 a^2 - 5 \geqslant 2 a\), 解得\(a \geqslant \frac{5}{3}\) ,
所以\(x y \geqslant \frac{25}{9}\),
\(x + y = 3 x y - 5 \geqslant \frac{25}{3} - 5 = \frac{10}{3}\)
所以\(x y\)的最小值是\(25 / 9, x + y\)的最小值是\(\frac{10}{3}\)
19.(12分)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用
表示，据统计，随机变量\(\xi\)的概率分布如下：
{\hspace{5em}}$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\tmstrong{\tmname{}} \tmsamp{} \xi & 0 & 1 & 2 & 3\
\hline
p & a & 0.4 & 3 a & 0.2\
\hline
\end{array}$
（I）求\(a\)的值和\(\xi\)的数学期望；
（II）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,
求该企业在这两个
月内共被消费者投诉\(4\)次的概率. \ \
解: (I)由概率分布的性质有\(a + 0.4 + 3 a + 0.2 = 1\)，解得\(a = 0.1.\)
\(\xi\)的概率分布为$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\tmstrong{\tmname{}} \tmsamp{} \xi & 0 & 1 & 2 & 3\
\hline
p & 0.1 & 0.4 & 0.3 & 0.2\
\hline
\end{array}\(，\)\xi\(的数学期望为\)E \xi = 0 \times 0.1 + 1 \times 0.4 + 2
\times 0.3 + 3 \times 0.2 = 1.6$.
(II)设事件\(A\)表示两个月内共被消费者投诉\(4\)次事件，\(A_i\)表示两个月内有一个月
被投诉\(i\)次，另一个月被投诉\(4 - i\)次，则由事件的独立性得
\(P (A_1) = C_2^1 \times 0.1 \times 0.2^{} = 0.04, P (A_2) = C_2^2 \times 0.2^2 = 0.04，\)
\(P (A) = P (A_1) + P (A_2) = 0.08.\)
故该企业在这两个月内共被消费者投诉\(4\)次的概率为0.08.
